关于奇数平方表示为9个不同奇数平方之和的存在性证明问询

我最近在琢磨一个数论问题：如何把奇数平方表示成9个不同奇数平方的和。具体定义是这样的：

设$n\in\mathbb{N}$是奇数，$x_1,,x_2,,...,,x_9\in\mathbb{N}$是两两不同的奇数，我想搞明白，到底哪些$n$能让方程
$$n^2=\sum_{j=1}9x_j^2$$
有解？

我自己验证了到$n=5555$的所有情况，发现在这个范围内，只要$n\geq37$，就一定能找到对应的解。

不仅如此，除了$n=43$之外，这个范围内$n\geq37$的奇数还能满足更特殊的表达式——其中$x_1,,x_2,,x_3\geq13$，也就是：
$$n²⁼¹2+3²⁺⁵2+7²⁺⁹2+11^2+\sum_{j=1}3x_j^2$$
转化一下就是
$$n^{2-286=\sum_{j=1}}3x_j^2$$

但这些都只是数值验证，算不上严格的数学证明。我现在特别好奇：能不能从理论上证明所有$n\geq37$的奇数都至少存在一组解？甚至能不能证明除了$n=43$之外，所有$n\geq37$的奇数都满足上面那个更特殊的形式？

要是不要求这9个奇数平方必须不同，那问题就简单多了。我用了刚才那个特殊形式的变体来分析：

设$n\in\mathbb{N}$是奇数，$x_1,,x_2,,x_3\in\mathbb{N}$是奇数，我们可以得到
$$n^2-6\equiv 3 \mod 8$$
根据勒让德三平方定理，当$n\geq3$时，方程
$$n^{2-6=\sum_{j=1}}3x_j^2$$
一定有解，也就是等价于
$$n²⁼¹2+1²⁺¹2+1²⁺¹2+1^2+\sum_{j=1}3x_j^2$$
这里要提一句，勒让德定理本身没说$x_1,,x_2,,x_3$必须是奇数，但只有三个奇数平方相加才能得到$8k+3$这种形式的数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者summingsummer