连续函数作用下完备度量空间的像是否一定完备？

If $(M, d)$ is a complete metric space and $f : (M,d) \rightarrow (N,d')$ is a continuous function. Then is $f(M)$ always complete ?

My guess would be no, if someone has pathological examples I would be glad to hear them.

你猜得完全没错！连续函数作用在完备度量空间上，得到的像不一定是完备的。这里给你几个直观且经典的例子：

• 第一个最常见的例子：取完备度量空间$\mathbb{R}$（配备通常的欧几里得距离$d(x,y)=|x-y|$），定义连续函数$f(x)=\frac{1}{1+x^{2}$。这个函数把整个实数轴$\mathbb{R}$映射到区间$(0,1]$，但$(0,1]$在欧几里得距离下并不是完备的——比如序列${\frac{1}{n}}_{n=1}}\infty$是$(0,1]$里的柯西序列，它的极限是0，而0并不在$(0,1]$中，满足柯西序列不收敛到集合内的元素，因此这个像集合不完备。

• 再看一个离散场景的例子：考虑完备度量空间$\mathbb{N}$（自然数集，配备通常的绝对值距离，它是完备的，因为所有柯西序列最终都会变成常数序列，自然收敛到集合内的元素），定义连续函数$f(n)=\frac{1}{n}$，它的像集合是${\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots}$。同样在欧几里得距离下，这个像集合不完备，因为序列${\frac{1}{n}}$的极限0不在该集合中。

如果想要更“病态”的例子，还可以从函数空间入手：比如取完备空间$C[0,1]$（[0,1]上的全体连续函数，配备上确界距离$d(f,g)=\max_{x\in[0,1]}|f(x)-g(x)|$，这是一个完备度量空间），定义连续映射$F(f)=\sum_{n=1}^\infty \frac{f(\frac{1}{n})}{2^n}$。这个映射的像是$\mathbb{R}$中的一个可数稠密子集（而非整个$\mathbb{R}$），显然这个稠密子集在欧几里得距离下不完备——比如存在柯西序列收敛到不在该子集内的实数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RthurN