关于分阶段重抽与从头重抽的抽奖中奖概率及公平性的技术问询

问题背景 #

我参与了一场无放回随机抽取的抽奖活动：初始有 $N$ 名独立参与者，设置 $k$ 个奖项，抽中者直接淘汰，无法再次参与抽奖。

第一次抽奖（记为 game1）结束后，主办方发现存在 $m$ 名作弊者（重复提交申请的用户），其中有 $j$ 名作弊者已经中奖。于是主办方采取了分阶段重抽的补救方案：

• 先移除全部 $m$ 名作弊者，同时移除 $k-j$ 名合法中奖者
• 针对剩余符合条件的参与者，重新抽取 $j$ 个奖项，这次抽奖记为 game2

game2 的核心参数为：

• 有效参与者总数：$N^{'} = N - m - k + j$
• 待抽取奖项数：$k^{'} = j$

另一种假设的公平方案是：直接移除所有作弊者后从头重新抽奖，记为 game3，参数为：

• 有效参与者总数：$N^{''} = N - m$
• 待抽取奖项数：$k^{''} = k$

基于以上设定，我已经计算了以下概率值：

• game1 的单次中奖概率：$P^{1}_{win}$
• game2 的单次中奖概率：$P^{2}_{win}$
• game3 的单次中奖概率：$P^{3}_{win}$
• 未中 game1 但中 game2 的联合概率：$P^{'}_{win}$

我现在有两个核心疑问需要验证：

1. 先 game1 再 game2 的分阶段重抽方案，参与者最终的整体中奖概率，是否和直接从头抽的 game3 中奖概率 $P^{3}_{win}$ 完全一致？
2. 这个分阶段重抽的过程对所有合法参与者公平吗？换句话说，会不会存在至少一名参与者，其最终中奖概率因为在 game1 中是否被抽中而产生差异？

我的推理过程 #

这类无放回抽奖的中奖概率，可以通过逐次抽取的概率累加推导，公式如下：
$$
P_{win}=\frac{1}{N}+\frac{1}{N-1}\left( 1-\frac{1}{N}\right)+\frac{1}{N-2}\left{ 1-\left[ \frac{1}{N}+\frac{1}{N-1}\left( 1-\frac{1}{N} \right) \right] \right}+...
$$
（上述公式需累加 $k$ 次，对应 $k$ 个奖项的抽取过程）

我用这个公式分别计算了 $P^{{1}_{win}$、$P}{2}{win}$ 和 $P^{3}{win}$。而未中 game1 但中 game2 的联合概率 $P^{'}{win}$，我认为应该是：
$$
P^{'}{win}=\left( 1 - P^{1}{win} \right)P^{2}{win}
$$

基于这些计算，我有一些初步判断但不确定准确性：

• $P^{3}{win}$ 和 $P^{'}{win}$ 是不相等的
• 我直觉上觉得，game1 的合法中奖者，后续的中奖机会比那些没中 game1 但参与了 game2 的人要低，这似乎对 game1 的中奖者不公平；但又觉得整体流程是公平的，因为所有合法参与者一开始都有机会中 game1 或者 game2

备注：内容来源于stack exchange，提问作者robwilliams