关于向量张成（span）为过原点直线的技术疑问

嘿，这个问题问得特别戳中线性代数初学者的痛点！其实核心是要把向量本身和向量的几何箭头表示这俩概念掰扯清楚，很多人刚学的时候都会在这里绕晕～

先回到张成的正式定义：单个向量$\boldsymbol{v}$的张成，是所有形如k*v的线性组合的集合（$k$是任意标量，比如实数域里的任意实数）。这里有个关键细节：当$k=0$时，结果就是零向量——也就是原点对应的那个向量。这就直接决定了，张成的集合里必然包含原点，对应的几何图形自然是过原点的直线。

你提到的“把向量(1,1)画在(0,1)起点上”的情况，其实混淆了“向量”和“向量的位移应用”。那个从(0,1)出发的箭头，本质上是用向量(1,1)来描述从点(0,1)到点(1,2)的位移，但点(1,2)对应的位置向量（从原点出发到该点的向量）是$(0,1)+(1,1)=(1,2)$，这已经不是原向量(1,1)的标量倍数了，不属于它的线性组合。

再明确一个默认语境：线性代数里讨论张成、线性组合这些概念时，默认我们说的“向量”是位置向量——也就是起点固定在原点的箭头。虽然向量本身确实可以平移（毕竟向量只看方向和长度，和起点无关），但张成的定义是基于向量的代数运算（标量乘法）来的，而标量乘法的结果，比如$k*(1,1)$，对应的永远是从原点出发、坐标为$(k,k)$的位置向量。

举个直观的例子：向量(1,1)的张成是集合${(k,k) | k∈ℝ}$，把这些位置向量的终点连起来，就是过原点的直线$y=x$。而你说的那条从(0,1)出发的同方向直线$y=x+1$，上面的点比如(0,1)对应的向量是(0,1)，根本没法写成$k*(1,1)$的形式（解$k1=0$和$k1=1$会矛盾），所以这些点对应的向量都不在(1,1)的张成里。

最后回答你最核心的疑问：为什么不是所有同方向的直线？因为那些直线上的点对应的位置向量，都不是原向量的标量倍数——它们都包含了额外的“平移量”，而张成的定义里只允许对原向量做标量缩放，不允许额外的平移（平移属于 affine 组合，不是线性组合）。

总结一下关键点：

• 张成的定义包含了$k=0$的情况，所以必然包含原点，对应的几何图形一定过原点；
• 平移后的箭头是向量的位移应用，不是向量本身的线性组合，对应的直线不属于原向量的张成；
• 线性代数讨论张成时默认向量是起点在原点的位置向量，这是定义隐含的运算语境。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者bochner.martinelli