关于不使用微分法求解含余弦的交错二重级数精确值的技术问询

我之前发现了一个很有意思的交错二重级数：
$$\sum_{m=1}^{{\infty}\sum_{n=1}}{\infty} \frac{(-1)^{m+n}}{(m+n)2} = \frac{\pi^2}{12}-\ln 2 ,$$
之后开始研究一个更复杂的版本：
$$\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+n} \cos (m+n)}{(m+n)^2} .$$

我首先想到用复变函数的思路来处理，注意到这个含余弦的级数可以表示为复函数 (f(1)) 的实部：
$$\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+n} \cos (m+n)}{(m+n)^2}=\Re f(1)\tag*{} $$
其中
$$\displaystyle f(x)=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+n} e^{(m+n) x i}}{(m+n)^2}\tag*{} $$

接下来我通过对 (f(x)) 求导的方式简化计算：
对 (f(x)) 求一阶和二阶导数：
$$\displaystyle f^{{\prime}(x)=\sum_{m=1}}{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+n} i e^{(m+n) x i}}{m+n}\tag*{} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned}f^{\prime \prime}(x) =\sum_{m=1}^{\infty}(-1)m\left[\sum_{n=1}^{\infty}(-1){n-1} e^{(m+n) x i}\right] =\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m e^{(m+1) x i}}{1+e^{x i}}=-\frac{e^{2 xi }}{\left(1+e^{xi}\right)2}\end{aligned}\tag*{} $$

然后通过积分二阶导数还原一阶导数：
$$f^{{\prime}(x)-f}{\prime}(0)=\int_0^x f^{\prime \prime}(t) d t =-\int_0^x \frac{e^{2 i t}}{\left(1+e^{i t}\right)^2} d t =i \ln \left(1+e^{i x}\right)+\frac{1}{2} \tan \frac{x}{2}-i \ln 2$$
整理后得到：
$ \displaystyle f^{\prime}(x)=i f(0)+i \ln \left(1+e^{i x}\right)+\frac{1}{2} \tan \frac{x}{2}-i \ln 2\tag*{} $

再次积分得到 (f(1)) 与 (f(0)) 的关系：
$$\begin{aligned} f(1)-f(0)&= \int_0^1\left[i f(0)+i \ln \left(1+e^{i t}\right)+\frac{1}{2} \tan \frac{t}{2}-i \ln 2\right] d t \end{aligned}$$
$$= i f(0)+i \int_0^1 \ln \left(1+e^{i t}\right) d t+\frac{1}{2} \int_0^1 \tan \frac{t}{2} d t-i \ln 2 $$
$$= i f(0)+i\left[-i \operatorname{Li_2}\left(-e^{-i x}\right)\right]_0^1+\ln \left(\sec \frac{1}{2}\right)-i \ln 2$$
整理后：
$\displaystyle \begin{aligned}f(1)&=f(0)+i f(0)-\operatorname{Li_2}\left(-e^{{-i}\right)-\frac{\pi}2}{12}+\ln \left(\sec \frac 12\right) -i \ln 2\end{aligned}\tag*{} $

取实部后就得到了原级数的结果：
$\displaystyle \boxed{\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+n} \cos (m+n)}{(m+n)^2}=\Re f(1)=-\ln 2-\Re\left(\operatorname{Li}_2\left(-e^{-i}\right)\right)+\ln \left(\sec \frac{1}{2}\right) \approx{0.0099041}} \tag*{} $

现在我想请教大家：有没有办法不通过微分法，直接求出这个含余弦的交错二重级数的精确值？

非常欢迎大家给出评论和其他替代解法。

补充：(f(0)) 的推导过程 #

$$f(0) =\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+n}}{(m+n)2} =\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}(-1){m+n-1} \int_0^1 x^{m+n-1} \ln x d x \ =\int_0^{1\left[\sum_{m=1}}{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}(-1){m+n-1} x^{m+n-1}\right] \ln x d x \ =\int_0^1 \ln x \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m x^m}{1+x} d x=\int_0^1 \ln x \frac{-x}{(1+x)^2} d x \ =-\int_0^1 \frac{x^2 \ln x}{(1+x)^2} d x=\frac{\pi^2}{12}-\ln 2 $$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lai