关于向量丛上单值性与平行形式、平行厄米度量的相关问题咨询

嗨，我来帮你梳理这两个问题的思路，你的直接计算方向是对的，只是可以结合平坦联络的单值性条件再往前推一步：

问题1：证明$\det$是$\wedge^r E$上的平行形式 #

首先，你已经写出了联络作用在$\det(s_1,...,s_r)$上的表达式：
$$\nabla \det(s_1,...,s_r) = d\left(\det(s_1,...,s_r)\right) - \sum_{i=1}^r \det(s_1,...,\nabla s_i,...,s_r)$$

我们可以从平行移动的不变性来理解：

1. 因为$\nabla$是平坦联络，局部存在平行标架${s_1,...,s_r}$，即$\nabla s_i = 0$对所有$i$。此时$\det(s_1,...,s_r)$是局部常数（因为标架的导数为0，行列式的微分$d\det(...) = 0$），代入上面的公式，第二项求和全为0，第一项也为0，所以局部上$\nabla \det = 0$。
2. 关键是单值性$\rho^\nabla \subset SL(r,\mathbb{C})$的条件：当你沿着任意环路平行移动这个标架时，变换矩阵$g \in SL(r,\mathbb{C})$，其行列式$\det(g)=1$。这意味着$\det(s_1,...,s_r)$在绕环路一周后不会改变——如果没有这个条件，行列式可能会变成原来的$\det(g)$倍，但现在$\det(g)=1$，所以这个局部常数可以延拓成全局的平行截面。

换个计算角度验证：假设局部联络形式为$\omega = (\omega_{ij})$，则$\nabla s_i = \sum_j \omega_{ji} s_j$。代入行列式的微分可得：
$$d\det(s_1,...,s_r) = \sum_i \det(s_1,...,ds_i,...,s_r) = \sum_i \det(s_1,...,\nabla s_i + \sum_j \omega_{ij}s_j,...,s_r)$$
展开后，交叉项（$j\neq i$）的行列式因有重复向量为0，仅剩$\sum_i \omega_{ii} \det(...) = \text{tr}(\omega)\det(...)$。代入你的公式后得到：
$$\nabla \det(...) = \text{tr}(\omega)\det(...)$$
而单值性在$SL(r,\mathbb{C})$意味着，沿任意环路$\gamma$的holonomy矩阵$g$满足$\det(g)=1$，对holonomy方程$dg + \omega g = 0$取行列式可得$d(\det(g)) = -\text{tr}(\omega)\det(g)$，因$\det(g)=1$，故$\text{tr}(\omega)$的环路积分全为0，结合平坦联络的$d\text{tr}(\omega)=0$，可知$\text{tr}(\omega)$是恰当形式，但更直接的是：平行移动下行列式不变，故$\nabla \det=0$。

问题2：单值性在$U(r)$时，向量丛存在平行厄米度量 #

这个可以用平行移动+平均构造来证明：

1. 在任意点$p \in M$，取$E_p$上的一个厄米度量$h_p: E_p \times E_p \to \mathbb{C}$。
2. 对任意$x \in M$，取一条从$p$到$x$的路径$\gamma$，将$h_p$沿$\gamma$平行移动到$E_x$：定义$h_x(v,w) = h_p\left(\tau_\gamma^{-1}(v), \tau_\gamma^{-1}(w)\right)$，其中$\tau_\gamma$是沿$\gamma$的平行移动映射。
3. 验证定义的良定性：如果换另一条路径$\gamma'$从$p$到$x$，则$\gamma^{-1}\gamma'$是环路，对应的单值性变换$g = \rho^{\nabla(\gamma}{-1}\gamma') \in U(r)$。而$U(r)$是厄米度量的等距群，即$h_p(gv,gw)=h_p(v,w)$，所以：
   $$h_x(v,w) = h_p\left(\tau_{\gamma'}^{-1}(v), \tau_{\gamma'}^{-1}(w)\right) = h_p\left(g\tau_\gamma^{-1}(v), g\tau_\gamma^{-1}(w)\right) = h_p\left(\tau_\gamma^{-1}(v), \tau_\gamma^{-1}(w)\right)$$
   即$h_x$的定义不依赖路径。
4. 证明$h$是平行的：对任意向量场$X$，取平行截面$v,w$（即$\nabla_X v = \nabla_X w = 0$），则$h(v,w)$沿$X$的流是常数（因为平行移动下$v,w$不变，且$h$由平行移动定义），故$\nabla_X h(v,w) = 0$，即$h$是平行厄米度量。

你的初始思路里用局部平行标架是可行的，只是需要结合单值性的条件来把局部结论推广到全局，或者用平行移动的不变性来简化证明~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Moumou Ye