关于构造恰以{0,1,1/2,1/3,…}为极限点的集合的验证问题

嘿，这个问题挺有意思的！先梳理下背景：你一开始疑惑能不能有集合的极限点恰好是${1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots}$，很快发现不行——因为0会自动成为额外的极限点。于是转而问能不能构造出极限点恰好是$S={0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots}$的集合，还给出了构造：
$$P=\bigcup^{\infty_{n=1}\bigcup}\infty_{j=1}\left{\frac{1}{n}+\frac{1}{10^j}\right}$$

你已经确认了$S$中的每个元素都是$P$的极限点，现在重点要解决的是：如何证明$P$没有其他极限点？我来一步步拆解：

第一步：先回顾已知的极限点包含关系（快速带过） #

• 对任意$n\geq1$，$\frac{1}{n}$是$P$的极限点：任取$\varepsilon>0$，只要取$j$足够大，$\frac{1}{10^{j}<\varepsilon$，那么$\frac{1}{n}+\frac{1}{10}j}$就落在$\frac{1}{n}$的$\varepsilon$邻域内，且属于$P$，满足极限点的定义。
• $0$是$P$的极限点：当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}\to0$，而每个$\frac{1}{n}$的邻域里都有$P$中的点（比如$\frac{1}{n}+\frac{1}{10^j}$），所以$0$的任意邻域内都存在$P$中的点，因此$0$是极限点。

第二步：证明$P$没有$S$之外的极限点 #

假设$x$是$P$的极限点，那么存在$P$中的点列${p_m}$，其中$p_m=\frac{1}{n_m}+\frac{1}{10^{j_m}}$，满足$p_m\to x$。我们分两种情况讨论：

情况1：${n_m}$是有界序列

也就是说存在某个正整数$M$，使得所有$n_m\leq M$。此时$n_m$只能取$1,2,\cdots,M$中的有限个值：

• 如果$n_m$固定为某个$k$，那么$p_m=\frac{1}{k}+\frac{1}{10^{j_m}}$，当$j_m\to\infty$时，$p_m\to\frac{1}{k}\in S$；
• 如果$n_m$在有限个值之间切换，那么点列的极限只能是这些$\frac{1}{k}$中的某一个（否则点列不会收敛）。

因此这种情况下，$x$必然属于$S$。

情况2：${n_m}$是无界序列

此时$n_m\to\infty$，那么$\frac{1}{n_m}\to0$。而$\frac{1}{10^{{j_m}}\leq\frac{1}{10}$，所以$p_m=\frac{1}{n_m}+\frac{1}{10}{j_m}}\to0$，即$x=0\in S$。

结论 #

综合两种情况，$P$的任何极限点都只能是$S$中的元素。结合你已经证明的$S$中的元素都是$P$的极限点，就可以得出：$P$的极限点恰好是$S={0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots}$，完全符合你的需求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者martinkleins