从无限 urn 中抽球：首次抽到绿球前抽到至少5个蓝球的概率计算方法问询

问题背景 #

一个urn里有无限多红、蓝、绿三种颜色的球，抽中每种颜色的概率分别是：

• 红球：0.6
• 蓝球：0.3
• 绿球：0.1

我们持续抽球直到抽到绿球为止，抽到绿球就停止抽球。比如一个可能的序列是：RBRRBRBBRRRG。

目标：计算首次抽到绿球前抽到至少5个蓝球的概率（红球的数量不影响结果）。

我的初步思路（遇到的困惑） #

• 一开始我想直接用 1 - P(抽到绿球) 来算，但显然不对，因为红球的存在会干扰这个思路。
• 而且我没法确定抽到绿球之前会有多少个球（理论上可能是无限个）。
• 我唯一能想到的是排除掉蓝球数量≤4的所有序列，但不知道具体该怎么计算。

解决方案建议 #

其实我们可以把问题简化一下：忽略红球的存在，因为红球的出现既不会让我们停止抽球，也不影响我们计数蓝球的目标。我们可以把每次抽球看作是“要么抽到蓝球，要么抽到绿球（或者红球，但红球相当于重新抽一次）”——换句话说，我们只需要关注“有效抽球”：也就是抽到蓝球或绿球的情况。

首先计算在一次“有效抽球”中抽到蓝球的条件概率：
当我们排除红球后，抽中蓝球的概率是 0.3 / (0.3 + 0.1) = 0.75，抽中绿球的概率是 0.1 / (0.3 + 0.1) = 0.25。

现在问题就转化为：在一系列独立的伯努利试验中，每次试验成功（抽到蓝球）概率0.75，失败（抽到绿球）概率0.25，求在首次失败前至少成功5次的概率。

这个问题就可以用几何分布来解决了：

• 首次失败前恰好成功k次的概率是 (0.75)^k * 0.25
• 我们需要的是首次失败前成功次数≥5的概率，也就是所有k≥5的情况的概率和。

计算这个和的话，可以用补集思想：1 - P(首次失败前成功次数≤4)

而P(首次失败前成功次数≤4)是k=0到k=4的概率之和：

P(k≤4) = 0.25 + 0.75*0.25 + (0.75)^2*0.25 + (0.75)^3*0.25 + (0.75)^4*0.25

这是一个等比数列求和，首项a=0.25，公比r=0.75，项数5，求和公式是 a*(1 - r^n)/(1 - r)，代入的话：

P(k≤4) = 0.25*(1 - 0.75^5)/(1 - 0.75) = 1 - 0.75^5

所以最终我们要求的概率就是：

P(至少5个蓝球) = 1 - P(k≤4) = 0.75^5 ≈ 0.2373

简单来说，这个思路的核心就是把红球当作“无效抽球”，因为它们不改变我们的目标状态，相当于每次抽到红球就重新抽一次，直到抽到蓝球或绿球为止，这样就把复杂的三色问题转化成了简单的几何分布问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mohammad