由Schur补及非对角块恢复原分块矩阵的可行性咨询

大家好，我最近碰到一个矩阵相关的问题，想跟各位请教：

假设我有这么一个分块矩阵：
$$ M = \begin{bmatrix}A & B \ C & D\end{bmatrix} $$
它的Schur补定义如下：
$$
M/A = D - CA^{-1}B \
M/D = A - BD^{-1}C \
$$

现在我只知道这两个Schur补 $M/A$ 和 $M/D$，还有非对角块 $B$ 和 $C$（实际应用里这个矩阵是对称正定的，所以 $C=B^\top$），能不能不用知道 $A$ 或者 $D$，直接恢复出原来的矩阵 $M$ 呢？感觉这应该是教材里某个现成的引理，但我翻了好久都没找到相关内容。

我自己也查了一些资料，比如Henderson & Searles关于矩阵和的逆的推导，还有Chris Yeh写的Schur补与矩阵逆引理的内容，目前最接近的成果是通过两种方式用Schur补表示 $M^{-1}$，再利用逆矩阵的唯一性得到了两个等式：
$$
(M/A)^{-1} = D^{-1} + D^{-1}C(M/D){-1}BD^{-1} \
(M/D)^{-1} = A^{-1} + A^{-1}B(M/A){-1}CA^{-1}
$$

这两个式子好歹能把 $A$ 和 $D$ 分别单独表示出来，但我卡在这里了，不知道怎么从这些表达式里解出 $A$ 或者 $D$。

针对这个问题，我们可以结合你提到的对称正定场景来具体分析：

首先，我们令 $X = A^{-1}$，$Y = D^{-1}$，再结合 $C=B^\top$，把第二个等式改写一下：
$$(M/D)^{-1} = X + X B (M/A)^{-1} B^\top X$$
这是一个典型的黎卡提方程，而黎卡提方程的解通常不是唯一的，除非有额外的约束条件来限制。

这就意味着，仅靠现有的已知条件，我们没办法唯一确定 $A$（或者 $D$），自然也就无法唯一恢复出原矩阵 $M$。

我们可以用一个简单的标量例子来验证这个结论：假设 $B$ 是1x1的矩阵（也就是标量），设 $B = b$，$M/A = s_1$，$M/D = s_2$，那么原问题就简化为：
$$s_1 = D - b^2 A^{-1}$$
$$s_2 = A - b^2 D^{-1}$$

我们先从第一个式子解出 $D = s_1 + b^2 A^{-1}$，代入第二个式子：
$$s_2 = A - b^2 (s_1 + b^2 A^{-1}){-1}$$
令 $a = A$（标量），整理后得到：
$$s_2 = \frac{a^2 s_1}{a s_1 + b^2}$$
进一步整理成二次方程：
$$s_1 a^2 - s_1 s_2 a - s_2 b^2 = 0$$

这个二次方程有两个不同的正根（因为矩阵正定，所以 $a>0$），对应两个不同的 $A$，进而得到两个不同的 $D$，最终会得到两个完全不同的原矩阵 $M$。这就直接证明了在标量场景下解不唯一，分块矩阵的情况也是同理。

总结一下：仅靠Schur补和非对角块，无法唯一确定原矩阵 $M$，如果想要得到唯一解，你需要引入额外的约束条件来缩小解的范围。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Benjamin Kay