关于函数$f(z)=\frac{1}{(z-4)(z-1)}$在$1<\vert z \vert <4$区域的洛朗级数展开验证及积分结果确认问询

嘿，咱们一步步来核对你的推导和结果，先从洛朗级数部分说起：

1. 部分分式分解与级数展开的正确性 #

你的部分分式分解是完全正确的：
$$f(z)=\frac{1}{(z-4)(z-1)}=\frac{1}{3}\bigg(\frac{1}{z-4}-\frac{1}{z-1} \bigg)$$

接下来看两个分式的展开逻辑：

• 对于$\frac{1}{z-4}$：因为我们处于$|z|<4$的区域，所以$\frac{z}{4}$的模小于1，符合几何级数$\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^\infty w^{n$（$|w|<1$）的收敛条件。你把它改写为$-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1-\frac{z}{4}}$，进而展开成$-\sum_{n=0}}\infty \frac{z^n}{4{n+1}}$，这部分推导毫无问题。
• 对于$\frac{1}{z-1}$：因为当前区域是$|z|>1$，所以$\frac{1}{z}$的模小于1，你将其变形为$\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}$，再展开成$\sum_{n=-1}^{-\infty}zn$（通过变量替换转换指标），这一步也是完全正确的。

所以你的洛朗级数展开结果是对的！

2. 积分结果的正确性 #

你提到积分路径是圆心在4、半径1的圆周，我们用留数定理来验证：

• 这个圆周内部的奇点只有$z=4$（$z=1$到圆心4的距离是3，大于半径1，所以在圆周外部）。
• 计算$f(z)$在$z=4$处的留数：$\lim_{z\to4}(z-4)f(z)=\lim_{z\to4}\frac{1}{z-1}=\frac{1}{3}$。
• 根据留数定理，$\oint_C f(z)dz=2\pi i \times$留数$=2\pi i \times \frac{1}{3}=\frac{2\pi i}{3}$，和你的结果完全一致，所以积分结果也是正确的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MyMathYourMath