关于求和式1!ⁿ+2!ⁿ+…+2024!ⁿ是否存在正整数n使其为完全幂的技术问询

我一直在研究这个问题：是否存在正整数$n$，让$1!^n+2!n+3!^{n+\dots+2024!}n$成为一个完全幂？下面是我目前梳理出的分析和待解的疑问：

分情况的排除结论 #

• $n=1$的情况：
  当$n\geq4$时，这个求和式的最后一位是3，而完全平方数的末位不可能是3；同时当$n\geq8$时，$3^3$不整除该求和式，因此它也不可能是更高次的完全幂，所以$n=1$不成立。

• $n=2$的情况：
  已知当$n\geq1248828$时，$1!^2+2!2+\dots+n!^{2$不可能是完全幂，但我不确定$1!}2+2!^{2+\dots+2024!}2$是否是完全幂。
  另外有个通用结论：**所有偶数$n$**对应的求和式都不可能是完全平方数，因为求和式模3余2，而完全平方数模3只能是0或1。

• $n=3$的情况：
  当$n\geq10$时，求和式模11余6，而完全平方数模11不可能是6；同时当$n\geq5$时，$3^3$不整除该求和式，因此它也不能是更高次的完全幂。

• $n=5,7$的情况：
  $3^2$不整除对应的求和式，因此它们不可能是完全幂。

• 奇数$n$的通用分析：
  对于所有奇数$n$，从某个分界点开始，总有3的某个幂次不整除求和式（有些情况甚至9都不整除），这就限制了它无法成为完全幂；另外还可以通过模素数分析：存在素数$p$，使得求和式模$p$的结果不是二次剩余，进一步排除了完全幂的可能。

工具验证情况 #

我用Pari GP工具检查了所有$n\leq10^4$的情况，目前还没有找到能让求和式成为完全幂的$n$值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thirdy Yabata