关于证明$W_{t}^2 - t$是伊藤过程的两个疑问

嘿，我来帮你拆解这两个困惑点，咱们结合定义和伊藤引理的细节一步步说：

疑问一：为什么用伊藤引理就算完成了证明？ #

首先得回忆伊藤过程的核心定义：一个随机过程$X_t$是伊藤过程，当且仅当它可以表示为如下形式：
$$X_t = X_0 + \int_0^t \mu_s ds + \int_0^t \sigma_s dW_s$$
其中$\mu_s$、$\sigma_s$是适应过程，$\int_0^t \mu_s ds$是普通的勒贝格积分，$\int_0^t \sigma_s dW_s$是伊藤随机积分。

你觉得“应该核对特征”的思路没错，但用伊藤引理推导的过程，本质上就是直接把$W_t^2 - t$转化成了伊藤过程的标准形式：
从推导结果$W_t^2 - t = \int_0^t 2W_s dW_s$来看，它完全符合伊藤过程的定义——初始值$X_0=0$，没有普通积分项（相当于$\mu_s=0$），随机积分项的系数$\sigma_s=2W_s$是适应过程。

这就像要证明一个数是偶数，你不需要去核对“能被2整除”的所有抽象特征，直接把它写成$2k$的形式就够了。伊藤引理在这里就是帮我们完成这个“转化成标准形式”的工具，所以这就是有效的证明。

疑问二：积分结果里的$t$是怎么来的？ #

你这里的困惑大概率是因为看到的式(1)省略了伊藤引理的完整推导步骤！咱们把细节补全就清楚了：

首先定义二元函数$f(t,w) = w^2 - t$，对它应用完整的伊藤引理（针对布朗运动的版本）：
$$df(t,W_t) = \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial w}dW_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial w^2}(dW_t)2$$
计算各个偏导数：

• $\frac{\partial f}{\partial t} = -1$
• $\frac{\partial f}{\partial w} = 2w$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial w^2} = 2$
  再结合布朗运动的核心性质：$(dW_t)^2 = dt$（二次变差等于时间增量），代入后：
  $$df(t,W_t) = -1 \cdot dt + 2W_t dW_t + \frac{1}{2} \times 2 \times dt$$
  化简一下，$-dt$和$+dt$正好抵消，所以得到：
  $$df(t,W_t) = 2W_t dW_t$$
  这就是你看到的式(1)。接下来对两边从$0$到$t$积分：
  左边积分结果是$f(t,W_t) - f(0,W_0) = (W_t^2 - t) - (0^2 - 0) = W_t^2 - t$
  右边积分结果是$\int_0^t 2W_s dW_s$
  这就得到了式(2)。所以$t$其实来自于函数$f(t,w)$对时间的偏导数，只是在微分阶段和二次变差项抵消了，但积分后左边的初始值差就保留了$-t$这一项。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TJT