紧支撑实值函数能否在其支撑集内有限次穿过零点？

你的思路完全正确，一点问题都没有！

首先得明确：紧支撑函数的核心要求只是支撑集是$\mathbb{R}$上的紧集（也就是有界闭集），根本不限制函数在支撑集内部的形态——只要它在支撑集外恒为0就行。很多教材总拿光滑的bump函数当例子，只是因为这类函数在傅里叶分析、偏微分方程这类领域里特别好用，但这绝对不是紧支撑函数的全部。

你举的这个分段函数就是个非常标准的紧支撑函数：
$$f(x) = \left{\begin{matrix} \sin\left(2\pi x\right) & \text{if} & x \in (0,2)\
0 & \text{if} & x \in (-\infty,0]\
0 & \text{if} & x \in [2,\infty)\\end{matrix} \right.$$

我们来一步步验证它的支撑集：
$$
\begin{align}
supp(f)& := \overline{{x \in \mathbb{R} : f(x) \neq 0}}\
& = \overline{(0,0.5) \cup (0.5,1) \cup (1,1.5) \cup (1.5,2)}\
& = \overline{(0,0.5)} \cup \overline{(0.5,1)} \cup \overline{(1,1.5)} \cup \overline{(1.5,2)}\
& = [0,0.5] \cup [0.5,1] \cup [1,1.5] \cup [1.5,2] = [0,2]
\end{align}
$$
显然$[0,2]$是$\mathbb{R}$上的有界闭集，也就是紧集，完全符合紧支撑函数的定义。

甚至再延伸一点：只要支撑集是紧集，函数在支撑集内部哪怕是无限次穿过零点（比如在$(0,1)$上定义$\sin(1/x)$，其余点取0，支撑集仍是$[0,1]$），也依然是合法的紧支撑函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者César VB