求助完成证明：存在无穷多对满足特定整除条件的不同素数对

这道题来自2009年罗马尼亚IMO国家队选拔测试第7天第3题，我已经完成了部分推导，但最后一步卡住了，想请教大家怎么解决。

问题描述 #

证明存在无穷多对不同的素数对 $(p, q)$，满足 $p \mid (2^{q - 1} - 1)$ 且 $q \mid (2^{p - 1} - 1)$。

我的推导过程 #

我打算通过费马数来构造符合条件的素数对，具体思路如下：

• 设 $p$ 是费马数 $F_n = 2^{2n} + 1$ 的任意素因子，$q$ 是费马数 $F_{n+1} = 2^{2{n+1}} + 1$ 的任意素因子，且 $q \neq p$。

接下来验证两个整除条件：

1. 根据Lucas定理，$2^{n+2} \mid (p - 1)$，因此 $(2^{2{n+2}} - 1) \mid (2^{p-1} - 1)$。注意到 $2^{2{n+2}} - 1 = (2^{2{n+1}} - 1)(2^{2{n+1}} + 1)$，而 $F_{n+1} = 2^{2{n+1}} + 1$，所以 $F_{n+1} \mid (2^{p-1} - 1)$。因为 $q \mid F_{n+1}$，所以 $q \mid (2^{p-1} - 1)$，第一个条件满足。
2. 同理，根据Lucas定理，$2^{n+3} \mid (q - 1)$，因此 $(2^{2{n+3}} - 1) \mid (2^{q-1} - 1)$。注意到多项式层面 $(x + 1) \mid (x^8 - 1)$，代入 $x = 2^{2n}$ 可得 $F_n = 2^{2n} + 1 \mid (2^{2{n+3}} - 1)$，所以 $F_n \mid (2^{q-1} - 1)$。因为 $p \mid F_n$，所以 $p \mid (2^{q-1} - 1)$，第二个条件满足。

现在只要让 $n$ 取不同的值，理论上就能生成不同的素数对，但还差关键一步：证明所有费马数不会被有限个素数整除。如果能证明这一点，就能保证我们能得到无穷多对不同的 $(p, q)$。

卡住的地方 #

这最后一步看似是个小细节，但我就是找不到证明方法。Zsigmondy定理好像用不上，因为费马数是 $+1$ 形式而不是 $-1$。有没有大佬能指点一下怎么证明这个结论？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者solasky