关于n阶自描述函数的系列技术咨询

我最近在研究一种能在n阶层面上"自描述"的函数，先给大家明确一下我对这个概念的定义：

一个函数$f(x)$被称为n阶自描述函数，当且仅当存在一个可逆函数$g_{n,f}$，满足：
$$ f = g^{-1} \circ f^n \circ g $$

这里补充说明下：$f^n$指的是$f$的n次复合迭代。另外，所有函数都是1阶自描述的——这是个平凡情况，只需取$g(t)=t$（恒等函数）即可满足定义。

举个实际例子帮助理解这个概念：函数$f(x)=2x$是2阶自描述函数，对应的可逆函数可以取$g(x)=a|x|x$（其中$a$为非零实数），它的逆函数为：
$$ g^{-1}(x) = \begin{cases}
\frac{\sqrt{|\frac{x}{a}|} \cdot |\frac{x}{a}|}{(\frac{x}{a})}, & x \neq 0 \
0, & x = 0
\end{cases} $$

我自己探索时发现，n阶自描述对应的$g(x)$似乎和$a \cdot x^{n$这类形式有关，但遇到了瓶颈：比如函数$f(x)=x}2$，我只找到1阶这个平凡情况，找不到其他阶数对应的可逆$g(x)$。

接下来是我的核心问题和几个延伸问题：

核心问题 #

• 什么样的函数属于n阶自描述函数？

延伸问题 #

• 如果我们把函数的定义域和值域限制在不同空间（复到复、实到实、正实数到正实数、整数到整数），这个概念会有哪些变化？
• 一个函数要成为特定阶数n的自描述函数，需要满足哪些约束条件？
• 是否存在这样的函数：它是某个$n>1$阶的自描述函数，但不是所有$n>1$阶的自描述函数？
• 函数$f(x)=x^2$除了1阶以外，是否还是其他阶数的自描述函数？

非常感谢各位能提供相关的见解或者理论参考，帮我理清这类函数的性质！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者11123469131928Plastic