关于满足A²=-Iₙ且AB=BA的实矩阵B的行列式非负性疑问

假设$n\geq 2$，且$A,B\in M_n(\mathbb{R})$满足$A^2=-I_n$和$AB=BA$，我们能否推出$\det{B}\geq0$？

我的尝试过程 #

我已经推导出：

• 由$A^{2=-I_n$，可得$A}{-1}=-A$，且$\det{A}=\pm1$
• 进一步推导得到：
  $$\begin{align*}
  \det{A^{-1}}&=(-1)n\det{A}\
  \frac{1}{\det{A}}&=(-1)^n\det{A}\
  1&=(-1)^n(\det{A})2
  \end{align*}$$
  这说明$n$必须是偶数，但到这里我就卡壳了。我试过用特征多项式来证明$B$在$\mathbb{C}$上可对角化，但没成功。希望能得到大家的帮助！

解答 #

你已经走对了关键的第一步——确定$n$必须是偶数，接下来我们可以从两个角度来证明$\det{B}\geq0$：

角度1：把实空间视为复空间

因为$A^{2=-I_n$，我们可以给$\mathbb{R}}n$赋予复向量空间的结构：对任意$a,b\in\mathbb{R}$和$v\in\mathbb{R}^n$，定义复数乘法$(a+bi)v = av + bAv$。

由于$AB=BA$，$B$在这个复空间下是复线性变换——验证一下：$B((a+bi)v)=B(av+bAv)=aBv+bBAv=aBv+bABv=(a+bi)Bv$，完全符合复线性的要求。

设这个复空间的维度是$k=n/2$（因为$n$是偶数），$B$作为复线性变换的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k\in\mathbb{C}$。而$B$作为实矩阵的特征值，就是每个$\lambda_j$和它的共轭$\overline{\lambda_j}$（实矩阵的复特征值必然共轭成对出现）。

实矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，也就是$\prod_{j=1}^k \lambda_j\overline{\lambda_j} = \prod_{j=1}^k |\lambda_j|^{2$。每个$|\lambda_j|}2$都是非负实数，它们的乘积自然也非负，所以$\det{B}\geq0$。

角度2：分块矩阵的构造

因为$A^2=-I_n$，根据实矩阵的标准型理论，一定存在实可逆矩阵$P$，使得：
$$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & -I_k \ I_k & 0 \end{pmatrix}$$
其中$k=n/2$。

又因为$AB=BA$，所以$P^{-1}BP$会是一个分块对称型矩阵：$\begin{pmatrix} C & -D \ D & C \end{pmatrix}$，这里$C,D\in M_k(\mathbb{R})$。

计算这个分块矩阵的行列式：$\det\left(\begin{pmatrix} C & -D \ D & C \end{pmatrix}\right) = \det(C+iD)\det(C-iD) = |\det(C+iD)|^{2$，这是一个复数模的平方，必然是非负的。而$\det{B}=\det(P}{-1}BP)$，所以$\det{B}\geq0$。

对你之前的思路补充一下：其实$B$不一定在$\mathbb{C}$上可对角化，但没关系，我们不需要对角化就能直接证明行列式的非负性，上面的两种方法都避开了这个点，直接命中了问题的核心。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1261066