带紧支撑上同调的长正合序列的示例验证与适用条件问询
最近我在啃一篇论文，里面提到了这么一个针对拓扑空间X及其开子空间U的紧支撑上同调长正合序列：
$$\cdots \to H^n_c(U) \to H^n_c(X) \to H^n_c(X-U) \to H^{n+1}_c(U) \to \cdots$$
我翻了自己手头的拓扑教材，都没找到这个序列的相关内容，怕自己随便推广出错，所以想请教大家这个序列的前提条件，同时也想让大家帮我看看我尝试的两个例子里有没有推理漏洞。
第一个尝试的示例
我选的是$X=\mathbb{R}2$，$X-U$是平面里的一个闭圆盘。我给U取的紧穷竭是一系列逐渐变大、越来越靠近闭圆盘的二维环形区域。我当时想，把每个二维环的内外边界捏合之后得到的是二维球面？基于这个思路，我觉得$H_cn(U)$的同调群应该是：n=0时为$\mathbb{R}$，n=1时为0，n=2时为$\mathbb{R}$。
第二个尝试的示例
接下来我想找一个U和它的补集都非紧的例子：我构造了一个无限空间X，由无穷多个$\mathbb{R}2$分支连接而成；U是X的一个无限开子集，由无穷多个去掉了方形2-单形S的$\mathbb{R}2$组成，这样$X-U$就是由无穷多个方形组成的连通空间。这个例子里有无限多个相交的平面，U是开集且非紧。
从论文里的这个长正合序列，我推导出如果对所有n都有$Hn_c(U)=0$，那么$Hn_c(X)=H^n_c(X-U)$，但我不想在没搞清楚X和U的所有限制条件之前继续算更多例子，所以有几个问题想请教大家：
我的疑问
- 上面两个例子里我的推理有没有错误？
- 这个长正合序列在U和它的补集都无界的情况下还成立吗？
- CW复形的“开子空间”定义是不是比我理解的更严格？我用的是常规定义，但不确定有没有特殊要求。
我自己也会继续找答案，找到后会更新，但如果有拓扑学大佬能帮忙解答就太好了！
更新
后来看到@Hanspeter Kraft的回答，里面提到这个长正合序列对CW复形X成立，但没有讨论开子空间和闭子空间的相关细节。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者June in Juneau
