寻找满足取整不等式恒成立的不同自然数a和b

首先明确问题：我们需要找到不同的自然数a和b，使得对于任意实数x、y，不等式

[(a+b)(x+y)] ≤ [x+a] + [y+b]

恒成立（这里[·]表示取整函数，即一个数的整数部分）。

你通过给x、y赋值来缩小范围的思路非常棒！比如你取x=1，y=2时：

• 左边：[(a+b)(1+2)] = [3(a+b)]，因为a、b是自然数，3(a+b)是整数，所以左边直接等于3(a+b)
• 右边：[1+a] + [2+b] = (1+a) + (2+b) = a+b+3

代入不等式后得到3(a+b) ≤ a+b+3，化简后是2(a+b) ≤ 3，也就是a+b ≤ 1.5。结合a、b是不同的自然数这个条件，可能的组合就只有(a=0, b=1)和(a=1, b=0)这两组了。

不过只试一组x、y还不够严谨，我们得验证这两组是不是真的对所有实数x、y都成立：

• 当a=0，b=1时：
  左边是[(0+1)(x+y)] = [x+y]，右边是[x+0] + [y+1] = [x] + ([y]+1) = [x]+[y]+1。
  根据取整函数的性质，x = [x] + {x}，y = [y] + {y}（其中{·}表示小数部分，0≤{x},{y}<1），那么x+y = [x]+[y] + {x}+{y}，取整后[x+y]要么等于[x]+[y]，要么等于[x]+[y]+1，显然都≤[x]+[y]+1，所以这个组合满足条件。

• 当a=1，b=0时：
  左边是[(1+0)(x+y)] = [x+y]，右边是[x+1] + [y+0] = ([x]+1) + [y] = [x]+[y]+1，和上面的情况完全一样，[x+y] ≤ [x]+[y]+1恒成立，所以这个组合也满足。

再排查一下其他可能的自然数组合：比如a、b都是正整数的话，a+b≥2，代入x=1,y=2时左边3(a+b)≥6，右边a+b+3≥5，6>5，不满足不等式；而a=b的情况也不符合“不同”的要求，所以确实只有这两组解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ccc