关于三角形中线、内切圆及外接圆的几何证明问题求助

问题内容 #

在$\triangle ABC$中，作一条平行于$AC$边的中线，这条线与$\triangle ABC$的外接圆交于$X$、$Y$两点。设$I$是$\triangle ABC$的内心，$D$是不包含点$B$的$\overset{\frown}{AC}$的中点。在线段$DI$上取点$L$，满足$DL = \frac{BI}{2}$，求证：$\angle IXL = \angle IYL$。

我目前的解题进展 #

• 已经证明了$D$、$I$、$B$三点共线；
• 当$AB = BC$时，$BI$恰好是$XY$的垂直平分线，这种特殊情况下可以轻松证出结论；
• 但到了一般情况，我完全找不到点$L$的特殊性质，思路彻底卡住了，求各位大佬帮忙指点！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者D S