关于有序正方形$[0,1]\times[0,1]$上字典序拓扑与积拓扑的精细性关系的疑问

我最近碰到一个拓扑学的问题，实在绕不明白，想请教大家：

设$I=[0,1]$，请通过概要证明说明，集合$I \times I$上的字典序拓扑严格细于其上的积拓扑。

我总觉得这个结论好像不对，比如拿点$(1/2,1)$来说，它属于$I^2$，我能找到包含它的积拓扑开集，但看起来找不到完全包含在这个积拓扑开集里的字典序开集？反过来的情况我也有类似的疑惑。

我之前也找过相关的讨论内容，但还是没搞清楚自己哪里理解错了。试了好多次都没捋明白，只能来提问了，有没有人能帮我解惑一下？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jvj