关于离散平方倒数无穷和大于连续平方倒数无穷积分的疑问

嘿，别担心，你的困惑其实特别常见，很多刚接触级数和积分的同学都会有这个疑问！首先先纠正一个小细节：你写的积分里变量用了n，但n一般用来表示离散的整数，积分的连续变量更适合用x，正确的积分表达式应该是：
$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = 1$$

接下来我们用几何直观来解释为什么离散和会大于这个积分：

• 函数$f(x)=\frac{1}{x^2}$在$x\geq1$时是严格递减的，也就是说，当$x$落在区间$[n, n+1]$（$n$为正整数）内时，$f(x) \leq f(n)$。
• 离散和里的每一项$\frac{1}{n^2}$，可以看成是区间$[n, n+1]$上高度为$f(n)$、宽度为1的矩形面积；而积分$\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x^2} dx$则是曲线$f(x)$在这个区间下方的面积。
• 因为$f(x)$是递减的，每个矩形的面积都会大于对应区间内曲线下的面积——矩形完全覆盖了曲线在该区间的区域，甚至还多出来一部分。

把所有区间的矩形面积加起来就是离散无穷和$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}$，把所有区间的曲线下面积加起来就是积分$\int_{1}}{\infty} \frac{1}{x^2} dx$。既然每一项矩形面积都比对应积分区间的面积大，那么总和自然也就更大了。

举个小例子验证一下：

• 前3项的离散和：$\sum_{n=1}^{3} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} \approx 1.3611$
• 对应到积分区间$[1,4]$的结果：$\int_{1}^{4} \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x}\bigg|_{1}^{4} = 1 - \frac{1}{4} = 0.75$
  很明显，离散和的前几项就已经比对应区间的积分结果大了，这就是矩形高出曲线的部分带来的差值。

你之前的误解是觉得“连续有更多项”，但积分并不是“更多项的和”，它是曲线下面积的极限，和离散的矩形求和是完全不同的概念。如果我们换用右端点来做矩形求和（比如从$n=2$开始），就会得到$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} < \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = 1$，这也符合递减函数的规律——右端点的矩形会低于曲线，总和就会小于积分。

所以你并没有走错方向，只是对积分和离散和的几何意义理解有一点偏差，理清这个直观的关系之后就没问题啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rishith Raj Raizada