无质量情形下输运方程的衰减估计推导问题

我最近在研究质量壳上的动理学输运方程 $f(t,x,p)$，之前已经摸清楚了经典非相对论（Vlasov）和有质量相对论（$m>0$）情形下的衰减估计推导逻辑，但在无质量相对论的情况上卡壳了，想请教大家的思路。

先简单回顾一下已经解决的两种情况：

经典非相对论（Vlasov方程）情形 #

对于 $t>0$，我们可以写出：
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}^3} f(t,x,v)dv &= \int_{\mathbb{R}^3} f^0(x-vt,v)dv \
&\leq \sup_{w \in \mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^{3} f}0(x-vt,w)dv,
\end{align*}
通过做变量替换 $y=x-vt$ 加上合适的缩放处理，就能得到 $t^{-3}$ 阶的衰减估计：
\begin{align*}
\left|\int_{\mathbb{R}^3} f(t,x,v)dv \right| &\leq \frac{1}{t^3}\sup_{w \in \mathbb{R}^3 } \int_{\mathbb{R}^3} \left|f^0(y,w)\right|dy \
&\leq \frac{C}{t^3}.
\end{align*}

有质量相对论（$m>0$）情形 #

这里通过变量替换 $y=x-\frac{v}{v^0}t$，可以推导出：
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}^3} | f(t,x,v)|dv &\leq \int_{\mathbb{R}^{3} f}0(x-\frac{v}{v^0}t,v)dv. \
& \leq \frac{C}{t^3} \int_{\mathbb{R}^3}\ \sup_{w \in \mathbb{R}^3}|f0(y,w)|dy,
\end{align*}
其中常数 $C$ 由 $v$ 的支撑集决定。

现在的问题出在无质量相对论情形：此时 $v^0 = |v|$（$v \in \mathbb{R}^{3$，$|v|=\sqrt{v_1}2+v_2^2+v_32}$），已知在 $v$ 有紧支撑的假设下，衰减估计应该是 $t^{-2}$ 阶的，但用之前的变量替换方法，得到的还是 $t^{-3}$ 阶的结果：
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}^3} f(t,x,v)dv &= \int_{\mathbb{R}^3} f^0(x-\frac{v}{|v|}t,v)dv \
&\leq \ \ \ ?
\end{align*}
我希望继续用特征线方法来推导这个估计，有没有朋友能给点思路或者建议？

我的初步尝试：球坐标变换 #

我想到或许可以把 $\mathbb{R}^3$ 上的积分转化到单位球面上来处理，也就是对 $v$ 做球坐标分解：令 $\omega = \frac{v}{|v|}$（$\omega$ 是单位球面 $\mathbb{S}^2$ 上的点），$r=|v|$，这样体积元就变成 $dv=r^2 dr d\omega$（其中 $r\in(0,\infty)$，$\omega \in \mathbb{S}^2$），代入积分后得到：
\begin{align*}
\int_{v \in \mathbb{R}^3} f(t,x,v)dv &= \int_{v \in \mathbb{R}^{3} f}0(x-\frac{v}{|v|}t,v)dv \
& = \int_{\omega \in \mathbb{S}^2}\int_{r=0}{\infty} f^0(x-\omega t,r\omega) r^2 dr d\omega
\end{align*}
但到这一步我还是看不出怎么得到 $t^{-2}$ 阶的衰减。我还有几个疑问：

• 是不是应该把积分转到半径为 $t$ 的球面上？
• 下面这个变量替换的思路是否合理？
  \begin{align*}
  \int_{\omega \in \mathbb{S}^2}\int_{r=0}{\infty} f^0(x-\omega t,r\omega) r^2 dr d\omega & \leq C_r \sup_{r \geq 0} \int_{\omega \in \mathbb{S}^2}\ f^0(x-\omega t,\omega) d\omega \
  & \leq \frac{C_r}{t^{2}} \sup_{r \geq 0} \int_{y \in \mathbb{R}^2}\ f^0(x-y, \frac{ry}{t}) dy
  \end{align*}

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gaiüx