希尔伯特空间中算子极分解相关等式的证明疑问

嗨，我来帮你解开这个疑惑～

你担心是不是用到了$w^2=id$其实完全没必要，这个等式成立只需要用到部分等距的核心性质和算子乘法的结合律，我们一步步拆开来算就清楚了：

首先，先回忆极分解里$w$的关键性质：$w$是部分等距，满足$w^{*w$是其初始空间（也就是$\overline{\text{ran}|u|}$，$|u|$的值域的闭包）上的投影算子。而$|u|$是正自伴算子，它的值域显然包含在$\overline{\text{ran}|u|}$里，所以对于$|u|$来说，有$w}*w|u|=|u|$——这是关键的一步，不是因为$w^{*w=id$，而是因为$|u|$的像都落在$w}*w$的投影范围内，所以$w^*w$作用在$|u|$上相当于恒等。

现在我们展开$(w|u|w^*)2$：

(w|u|w^*)^2 = (w|u|w^*)(w|u|w^*)

根据算子乘法的结合律，我们可以调整括号的位置：

= w|u|(w^*w)|u|w^*

刚才说了，$w^*w|u|=|u|$，代入进去就得到：

= w|u|\cdot|u|w^* = w|u|^2 w^*

你看，整个过程根本没用到$w^2=id$，那是酉算子（特殊的部分等距）才有的性质，一般的部分等距并不满足。

再顺着你的思路往下说，既然$|u^*|2=uu^*=w|u|2 w^*=(w|u|w)^2$，而$|u|$是$uu^{*$的*唯一正平方根*，同时$w|u|w}$也是正算子（因为它是正算子$|u|$通过部分等距的共轭变换得到的），所以根据正平方根的唯一性，就能得出$|u^*|=w|u|w$啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mobius