关于到最近整数距离的等式的简洁证明方法问询

我最近在推导一个涉及到最近整数距离（记为$\lVert \cdot \rVert$）的等式时，遇到了一点小困惑，想请教大家有没有更简洁的证明思路。

首先说下问题背景：我是从一篇学术论文的相关页面引出的这个问题，原问题是：当整数$s \geq 5$时，证明
$$2\max\left(\left\lVert\sqrt{2s}\right\rVert,,\left\lVert\sqrt{2s}-1/2\right\rVert\right)=1/2+\left\lVert\sqrt{8s}-1/2\right\rVert$$

注意到$\sqrt{8s}=2\sqrt{2s}$，所以这个等式可以推广到更一般的非负实数$x$的情况，即要证明：
$$2\max\left(\left\lVert x\right\rVert,,\left\lVert x-1/2\right\rVert\right)=1/2+\left\lVert 2x-1/2\right\rVert$$

我自己的做法是分4种情况讨论：
先定义$A(x):=2\max\left(\left\lVert x\right\rVert,,\left\lVert x-1/2\right\rVert\right)$，$B(x):=1/2+\left\lVert 2x-1/2\right\rVert$，然后根据$x$的小数部分（即$x-\lfloor x\rfloor$）落在不同区间来验证$A(x)=B(x)$：

• 当$0 \leq x-\lfloor x\rfloor < 1/4$时：$A(x)=1-2\left(x-\lfloor x\rfloor\right)=B(x)$
• 当$1/4 \leq x-\lfloor x\rfloor < 1/2$时：$A(x)=2\left(x-\lfloor x\rfloor\right)=B(x)$
• 当$1/2 \leq x-\lfloor x\rfloor < 3/4$时：$A(x)=2-2\left(x-\lfloor x\rfloor\right)=B(x)$
• 当$3/4 \leq x-\lfloor x\rfloor < 1$时：$A(x)=2\left(x-\lfloor x\rfloor\right)-1=B(x)$

虽然这个分情况的方法能证出来，但总觉得有点繁琐。而论文里说这个结论是“easy to see”，我怀疑是不是有更直接、更巧妙的证明方式，不用分这么多情况？有没有大佬能指点一下？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者summingsummer