关于含平方零极大理想的幺交换环为局部环的证明问询

我在环论作业里碰到了这么个问题：

设$R$是含单位元的交换环，$M$是$R$的极大理想且满足$M^2={0}$。证明$M$是$R$的唯一极大理想。

我自己先试了试简单情况：如果$M={0}$的话，这结论就很显然了——此时$R$是域，当然只有这一个极大理想。但面对一般情况我就有点摸不着头绪了：
由$M^2={0}$能推出，对任意$m_1,m_2\in M$，都有$m_1m_2=0$，也就是说$M$里的所有元素都是零因子（同时也是幂零元）。

不过我还没搞明白，一个理想同时是极大理想和平方零理想，还能导出哪些有用的性质？实在不知道该怎么往下推进证明了。对了，我现在在上入门级的环论课程，麻烦尽量用基础的知识来指导我，别用太进阶的定理或者工具呀。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nothing special