寻找满足n整除9^(n-1)+3^(n-1)+1的正整数n的求解咨询

我最近碰到一个数论问题，想找出所有满足 正整数n整除9^(n-1)+3(n-1)+1 的n值。目前我猜测除了n=1之外没有其他解，但还没法给出严谨的证明过程。

我已经做了一些初步推导：如果n满足整除条件，那么可以得到同余式 3^(3(n-1)) ≡ 1 mod n——这一步是把原式里的9换成3²，再两边乘以3^(n-1)推导出来的。本来想着能不能利用模n的乘法阶（order）来继续分析，但卡在这儿不知道该怎么往下推进了，有没有懂数论的朋友能给点思路或者完整的证明方向呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kaire