无穷余弦级数求和与θ的求解

嘿，你已经发现这些三角形都是相似的，这步思路完全正确！不过你对线段长度的判断有点小偏差，咱们来重新梳理一遍，一步步算出θ的值～

首先先明确每一段线段的长度关系：

• 已知$A_0A_1 = 1$，它垂直于$L_1$；
• $A_1A_2$垂直于$L_2$，结合相似三角形的性质，$A_1A_2 = A_0A_1 \cdot \cosθ = \cosθ$；
• 接下来$A_2A_3$垂直于$L_1$，同样根据相似性，$A_2A_3 = A_1A_2 \cdot \cosθ = \cos^2θ$；
• 以此类推，$A_3A_4 = \cos^3θ$，$A_4A_5 = \cos^4θ$……每一段都是前一段乘以$\cosθ$。

所以这个无穷求和的式子，其实是一个首项为1，公比为$\cosθ$的无穷等比级数（因为θ是锐角，$\cosθ < 1$，满足无穷等比级数收敛的条件）。

无穷等比级数的求和公式是：
$$
S = \frac{\text{首项}}{1 - \text{公比}}
$$

题目里给出这个无穷和$S = 2(2+\sqrt{3})$，代入公式可得：
$$
\frac{1}{1 - \cosθ} = 2(2+\sqrt{3})
$$

接下来解这个方程求$\cosθ$：

1. 先计算等式右边：$2(2+\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3}$；
2. 变形得到：$1 - \cosθ = \frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$；
3. 对分母有理化，给分子分母同乘$4 - 2\sqrt{3}$：
   $$
   \frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} \times \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{16 - 12} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}
   $$
4. 代入后得到：$1 - \cosθ = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$，两边消去1，可得$\cosθ = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

最后，根据余弦值可知，θ = 30°（也就是$\frac{\pi}{6}$弧度）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shivansh Tiwari