已知ARL值，如何基于数据集C反向计算阈值h？

咱们先把整个逻辑捋得明明白白，从你已经完成的正向计算，到现在的反向推导，一步步拆解：

一、回顾正向计算的核心逻辑 #

你之前给定h=5，用数据集C=[1,5,8,9,7,8,1,2,5,5]算出ARL=2.5的核心代码如下：

C=[1,5,8,9,7,8,1,2,5,5]
h=5
n=10
ooc = C > h  # 生成布尔数组，标记每个元素是否大于h
lenOOC = sum(ooc)  # 统计*大于h的元素数量*
p = lenOOC / n  # 计算超出控制限的比例
ARL = 1 / p  # 计算平均运行长度

这里lenOOC=4（C中大于5的元素是8、9、7、8），所以p=4/10=0.4，ARL=1/0.4=2.5，完全对应你的结果。

二、当前反向推导的进展与后续落地步骤 #

现在你要反向求解：给定ARL=1.428571，求对应的h值，已经推导到：

ARL=1.428571
n=10
lenOOC = n / ARL  # 计算需要的超出控制限的元素数量
# 这里 lenOOC = 10 / 1.428571 ≈7

基于ooc=C>h的定义，接下来的推导可以按这几步来：

步骤1：明确lenOOC的核心含义 #

lenOOC就是数据集C中大于h的元素个数，现在我们需要lenOOC≈7（因为10/1.428571=7），也就是要找到h，使得C中恰好有7个元素大于它。

步骤2：对数据集C排序，快速缩小h的范围 #

先把C从小到大排序，得到：

sorted_C = [1, 1, 2, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9]

排序后元素的分布一目了然，能帮我们快速定位h的合理区间。

步骤3：精准定位h的取值区间 #

我们需要7个元素大于h，意味着剩下的3个元素≤h。看排序后的数组：

• 前3个元素是1,1,2，第4个元素是5
• 要让恰好7个元素大于h，h需要满足：2 ≤ h < 5
  • 当h=2时，C中大于2的元素是5,5,5,7,8,8,9，共7个，此时lenOOC=7，p=7/10=0.7，ARL=1/0.7≈1.428571，完美匹配给定的ARL值。
  • 如果h在(2,5)之间（比如h=3、h=4），大于h的元素还是这7个，计算出的ARL完全一致；只有当h≥5时，大于h的元素会减少到4个，ARL就会回到2.5。

补充：如果是lenOOC>7的情况 #

如果你的推导里lenOOC>7是要求至少8个元素大于h，那我们需要找h使得C中≥8个元素大于它：

• 排序后前2个元素是1,1，第3个是2
• h需要满足：1 ≤ h < 2
  • 此时大于h的元素是2,5,5,5,7,8,8,9，共8个，p=8/10=0.8，ARL=1/0.8=1.25，这时候ARL就比目标值更小了。

总结 #

对应ARL=1.428571的h值是区间[2,5)内的任意数值，如果取整数解的话，h=2是最直观的选择。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者OSS