排列算法分析：递归排列算法的时间复杂度是否为O(n!)？

嘿，先别被递归搞疯！咱们一步步拆解你代码里的疑问，再聊聊时间复杂度的问题～

先解释你代码里的两个疑问 #

首先把你的代码格式化一下，方便咱们看：

def permute(s):
    out = []
    if len(s) == 1:
        # wouldn't setting out replace everything in out?
        out = [s]
    else:
        for i, let in enumerate(s):
            # how does it know that I only want 2 strings?
            for perm in permute(s[:i] + s[i+1:]):
                out += [let + perm]
    return out

print(permute("cat"))

疑问1：# wouldn't setting out replace everything in out? #

完全不用担心“替换掉之前的out”！这里的out是函数的局部变量，每次递归调用permute都会在新的函数栈帧里创建一个全新的out，和上层递归的out完全没关系。

当len(s) == 1时，这是递归的基准情况——单个字符的排列只能是它自己，所以把out设为[s]是完全合理的。这个值会返回给上层递归，上层会用它来拼接更长的排列。

疑问2：# how does it know that I only want 2 strings? #

它根本不知道你“只想要2个字符串”，这是递归的自然结果呀！

举个例子，当处理"cat"时：

• 第一次循环取字符'c'，剩下的子串是"at"，调用permute("at")会返回["at", "ta"]，所以拼接后得到["cat", "cta"]；
• 第二次循环取字符'a'，剩下的子串是"ct"，调用permute("ct")返回["ct", "tc"]，拼接得到["act", "atc"]；
• 第三次循环取字符't'，剩下的子串是"ca"，调用permute("ca")返回["ca", "ac"]，拼接得到["tca", "tac"]。

所有结果合并起来就是6个排列（3!），而递归到长度为2的字符串时，自然会生成2个排列（2!）——这是算法遍历所有可能组合的必然结果，不是刻意限定的。

时间复杂度：O(n!)是正确的吗？ #

答案是完全正确，咱们来理清楚原因：

1. 排列总数的下限：n个不同字符的排列总数是n!，算法必须生成每一个排列，这部分的工作量至少是O(n!)，因为每个排列都要被构造和存储。
2. 递归过程的总工作量：对于长度为k的字符串，递归会触发k次对长度为k-1的字符串的调用。把所有递归步骤的工作量加起来：

   n! + (n-1)*(n-1)! + (n-2)*(n-2)! + ... + 1*1! = (n+1)! - 1
   

   而(n+1)!和n!是同阶的（大O表示法忽略常数倍数），所以总时间复杂度就是O(n!)。
3. 最优性：因为必须生成所有n!个排列，所以这个算法的时间复杂度已经是最优的了——不可能有比O(n!)更快的算法来生成所有排列。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者edmamerto