与给定连续自映射交换的同伦的存在性问题

这是拓扑学里一个很自然的问题——当两个和$g$交换的连续自映射$f_0$、$f_1$本身是同伦的，能不能找到一个全程和$g$交换的同伦来连接它们？答案是不一定存在，得看空间$X$和映射$g$的具体情况，下面分两种情况聊：

存在的情况 #

• 最直白的情况：如果$g$是恒等映射，那任何连接$f_0$和$f_1$的同伦自动和$g$交换，肯定存在。
• 当$X$是可缩空间（比如欧氏空间$\mathbb{R}^n$）时，通常能找到这样的同伦。因为可缩空间的同伦足够“灵活”，可以调整同伦路径让它全程和$g$交换。
• 另一种情况：如果$g$同伦于恒等映射，或者$g$的阶数有限（比如$g^k=\text{id}$），且$X$是CW复形，这时候可以用同伦平均的技巧：把普通同伦$f_t$和它的$g$变换$g\circ f_t\circ g^{-1}$、$g2\circ f_t\circ g^{{-2}$……$g}{k-1}\circ f_t\circ g^{-(k-1)}$平均起来，得到的同伦就会和$g$交换。

反例：不存在的情况 #

举个经典的代数拓扑反例（修正了度数不同的问题）：
取$X=\mathbb{RP}^{2$（实射影平面），定义$g$为$\mathbb{RP}}2$上的反射自同构（比如通过$\mathbb{R}^{3$中关于某个平面的反射诱导）。取$f_0$为恒等映射，再取$f_1$是一个和$g$交换、且与$f_0$同伦的自映射（比如$f_1$是$\mathbb{RP}}2$上的一个“扭转”映射，和$g$交换且度数与$f_0$相同）。

此时$f_0$和$f_1$是同伦的，但不存在全程和$g$交换的同伦连接它们——原因是$g$诱导的同态在$\pi_2(\mathbb{RP}^2)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$上的作用是非平凡的，而$f_0$、$f_1$诱导的同态无法通过一条与$g$作用交换的同态路径连接。

更通俗的理解是：普通同伦只要求映射连续变形，但“与$g$交换”的条件给变形加了额外约束，这个约束可能会让原本存在的同伦路径被“卡住”，找不到符合要求的路径。

总结一下：这个问题的答案不是绝对的，额外的条件（比如$X$可缩、$g$有限阶）能保证这样的同伦存在，但一般情况下，不存在满足要求的同伦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者red_trumpet