Matlab中ode45两种求解方案结果差异原因问询

首先明确你要解的非线性微分方程为：
$$\frac{dT}{dt} = \frac{(1-\alpha)Q - \sigma T^4}{R}$$
对应的参数定义如下：

R=2.912; Q = 342; alpha=0.3; sigm=5.67*(10^(-8)); TT=20; t0=0;

两段代码的核心差异拆解 #

先把你的两段代码清晰展示出来，再逐一分析差异根源：

Code#1

tspan1 = t0:0.05:TT; 
[t1,y1] = ode45(@(t1,T) ((1-alpha)*Q-sigm*(T.^4))/R, tspan1, t0); 
h1=(TT-t0)/(size(y1,1)-1); 
Tspan1=t0:h1:TT; 
figure(55);plot(Tspan1,y1,'b'); 

Code#2

tspan=[t0 TT]; 
[t,y] = ode45(@(t,T) ((1-alpha)*Q-sigm*(T.^4))/R, tspan, t0); 
h=(TT-t0)/(size(y1,1)-1); 
Tspan=t0:h:TT; 
figure(5);plot(Tspan,y,'b'); 

差异的具体原因 #

1. ODE45的tspan调用逻辑不同

   • 在Code#1中，你传入的是等间隔的时间点序列tspan1 = t0:0.05:TT。此时ode45会先用自身的自适应步长完成数值求解，再将计算结果插值到你指定的每个时间点上输出，所以y1的长度和tspan1完全一致。
   • 在Code#2中，你传入的是仅包含起止时间的二元向量tspan=[t0 TT]。这种情况下，ode45会根据解的变化快慢自动选择输出时间点（自适应步长策略，目的是控制求解误差），输出的t和y的长度远小于Code#1中的序列长度。

2. Code#2存在变量复用错误
   这是导致结果差异最直接的问题：

   • Code#2里计算步长h时，调用了Code#1生成的变量y1的尺寸size(y1,1)，这意味着h和Code#1的h1完全相同（都是0.05），进而生成的Tspan和Code#1的Tspan1是完全一样的等间隔序列。
   • 但Code#2中ode45返回的y的长度远小于Tspan的长度，执行plot(Tspan,y,'b')时，MATLAB会因维度不匹配要么直接报错，要么自动做不合理的元素填充（比如重复y的元素），这直接导致绘图结果和Code#1完全偏离。

3. 插值逻辑的隐性差异（次要）
   就算你把Code#2中的size(y1,1)改成size(y,1)，结果仍会和Code#1有细微差异：

   • Code#1是求解器内部将自适应步长的结果插值到等间隔点；
   • 若你手动用interp1(t,y,Tspan)插值Code#2的结果，虽然都是插值，但原始采样点是求解器自动选取的，和Code#1内部的插值过程会存在细微数值偏差（不过这个差异通常很小，远不如变量复用错误导致的差异明显）。

Code#2的修正方案 #

如果你想让Code#2得到和Code#1一致的结果，可修改为：

tspan=[t0 TT]; 
[t,y] = ode45(@(t,T) ((1-alpha)*Q-sigm*(T.^4))/R, tspan, t0); 
% 生成和Code#1一致的等间隔时间点
Tspan = t0:0.05:TT;
% 将ode45的结果插值到等间隔点
y_interp = interp1(t,y,Tspan);
figure(5);plot(Tspan,y_interp,'b'); 

修改后两段代码的绘图结果会基本一致（数值上的细微差异可忽略）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Morteza