正则多胞体距离矩阵重复结构的成因、普适性及相关拓展问题的技术问询

我最近在研究不同维度正则多胞体的距离矩阵时，发现了一些有意思的规律，想和大家探讨并请教几个问题：

二维正则多边形的规律 #

当按循环顺序标记顶点（顶点标号对应距离矩阵的行和列）时，距离矩阵必然是大小为n×n的对称循环矩阵（n为多边形的顶点数）。这其实是循环图的已知特性，所有多边形都属于循环图的范畴。

三维正多面体的结构特性 #

三维空间中只有5种正多面体，它们的距离矩阵都呈现出一致的特殊结构：只要找到合适的顶点标记方式，就能得到块双对称矩阵，且每个子块都是大小相同的对称循环矩阵。不过这种标记方式不像二维那样直观，我目前只能通过试错来寻找，而当多面体顶点数增多时，可能的标记组合数是n!，试错的难度会急剧上升。

各正多面体的距离矩阵具体结构如下：

• 正四面体：4×4对称循环矩阵
• 正八面体：6×6对称循环矩阵
• 正方体：由两个4×4对称循环矩阵构成的2×2块双对称矩阵
• 正二十面体：由两个6×6对称循环矩阵构成的2×2块双对称矩阵
• 正十二面体：由四个5×5对称循环矩阵构成的4×4块双对称矩阵

四维正多胞体的验证结果 #

我已验证的几个四维正多胞体也符合这个规律：

• 正五胞体：5×5对称循环矩阵
• 正十六胞体：8×8对称循环矩阵
• 正八胞体（超立方体）：由四个4×4对称循环矩阵构成的4×4块双对称矩阵（同时也是块对称循环矩阵）

待解答的核心问题 #

这些结构非常有意思，因为双对称矩阵和对称循环矩阵都有很多可利用的独特性质。我有几个核心问题想请教各位：

• 这种结构模式是否能推广到任意维度的所有正则多胞体？
• 正则多胞体的哪些特性导致了这种距离矩阵结构的出现？
• 是否可以通过正则多胞体的拓扑不变量来预测其距离矩阵的结构？
• 除了正则多胞体的顶点图之外，还有其他类型的图也具备这种特殊的距离矩阵结构吗？

我目前还没找到相关的研究文献，希望能得到大家的帮助，更好地理解这一现象。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aidan R.S.