非道路连通空间上$H^1(X, \mathbb Z)$与$\operatorname{Hom}(\pi_1(X, x_0), \mathbb Z)$的同构关系疑问

嘿，这个问题问得很到位！先从我们熟悉的道路连通情况说起——那时候$H^1(X, \mathbb{Z}) \cong \operatorname{Hom}(\pi_1(X, x_0), \mathbb{Z})$成立，核心原因是道路连通空间里，第一奇异上同调类和基本群到$\mathbb{Z}$的同态之间有自然的一一对应：比如你可以把上同调类对应到它诱导的环路积分映射，或者通过分类映射（把环路映射到$S^{1$，再拉回$H}1(S^1,\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$）来建立这个对应。

但当$X$不是道路连通时，这个同构就失效了，我们得拆成道路连通分支来分析：

• 先看上同调侧：$H^1(X, \mathbb{Z})$是$X$所有道路连通分支$X_i$的$H^1(X_i, \mathbb{Z})$的直积（因为奇异上链复形是各分支上链复形的直积，上同调会继承这个直积结构）。简单说，每个道路连通分支的第一上同调信息都会在$H^1(X, \mathbb{Z})$里占有一个分量。
• 再看基本群侧：$\operatorname{Hom}(\pi_1(X, x_0), \mathbb{Z})$只和包含基点$x_0$的那个道路连通分支有关。因为其他分支里的环路根本没法和$x_0$处的环路同伦（连路径都没有），所以$\pi_1(X, x_0)$其实就是$\pi_1(X_0, x_0)$，其中$X_0$是$x_0$所在的分支。对应的同态群自然也只反映$X_0$的信息。

这么一对比就很清楚了：左边的$H^1(X, \mathbb{Z})$包含了所有分支的上同调信息，右边的同态群只覆盖了基点所在分支的基本群信息。当$X$有多个道路连通分支时，两边的群结构完全不一样，自然不可能同构。

举个直观的例子：假设$X$是两个不相交的圆$S^1 \sqcup S^1$，取基点$x_0$在第一个圆上。那么：

• $H^1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$（每个圆贡献一个$\mathbb{Z}$）
• $\operatorname{Hom}(\pi_1(X, x_0), \mathbb{Z}) \cong \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$（只反映第一个圆的基本群）
  显然这两个群不同构。

所以结论是：这个同构只在$X$道路连通的情况下成立；当$X$非道路连通时，两边的群包含的信息不对等，同构不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user965463