关于相机投影矩阵中主点偏移c_x、c_y作用的技术疑问

嘿，我来帮你把这个困惑的几何问题彻底掰明白！

首先得理清两个坐标系的差异，这是理解c_x、c_y作用的核心：

1. 投影坐标系 vs 图像存储坐标系 #

• 投影坐标系：这是相机透视投影的「自然坐标系」，原点是主点（Principal Point）——也就是相机光轴与成像平面的交点。当3D空间点通过透视投影到成像平面时，最初计算出的坐标（比如u' = f_x*(X/Z)、v' = f_y*(Y/Z)）都是相对于这个主点的：主点右侧为u'正方向，主点下方为v'正方向。
• 图像存储坐标系：我们日常处理图像时用的坐标系，原点在图像的左上角，向右为x轴正方向，向下为y轴正方向。

2. 为什么要加c_x和c_y？ #

主点在图像存储坐标系中的位置就是(c_x, c_y)（比如一张1920×1080的图像，主点通常接近(960, 540)）。我们需要把投影坐标系下的坐标转换到图像存储坐标系，本质就是一次坐标平移：

• 假设投影坐标系下某点相对于主点的水平偏移是u'，那它在图像坐标系中的x坐标就是「主点的x坐标c_x + 水平偏移u'」，也就是u_image = c_x + u'
• 同理，垂直方向就是v_image = c_y + v'

结合OpenCV的相机矩阵公式来看：
相机矩阵是：

[ f_x  0  c_x ]
[  0  f_y c_y ]
[  0   0   1  ]

当它和3D点的齐次坐标[X, Y, Z]^T相乘后，得到：

[ f_x*X + c_x*Z ]
[ f_y*Y + c_y*Z ]
[      Z        ]

除以Z（透视除法）后，就得到图像坐标系下的最终坐标：
( f_x*(X/Z) + c_x , f_y*(Y/Z) + c_y )

举个直观的例子 #

假设主点在图像中的位置是(960, 540)，某个3D点投影后相对于主点的水平偏移是+100像素（主点右侧100像素），垂直偏移是+50像素（主点下方50像素）：

• 投影坐标系下的坐标是(100, 50)
• 转换到图像坐标系后就是(960+100, 540+50) = (1060, 590)，这完全符合我们对图像像素位置的认知。如果不加c_x、c_y，得到的(100,50)会指向图像左上角附近的位置，这显然和实际投影位置完全不符。

简单来说：c_x和c_y就是帮我们把投影的「自然原点」（主点），平移到图像存储的「原点」（左上角），让计算出的像素坐标和图像实际存储的位置对应起来。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Carpetfizz