关于可解李代数中Baker-Campbell-Hausdorff级数收敛性的问询

大家好，我最近在研究可解李代数上的Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）级数收敛性，遇到了一个问题想请教各位：

已知BCH级数的标准形式为
$$C(X,Y) = X + Y + \sum_n C_n(X,Y),$$
其中$C_n(X,Y)$是$n$维李代数$\mathfrak{g}$中由$X$和$Y$的换位子构成的齐次项。当$|X|, |Y| < \rho$（$\rho>0$是足够小的收敛半径）时，该级数收敛。

现在考虑装备了黎曼度量的可解李代数$\mathfrak{g}$，取$X,Y,Z \in \mathfrak{g}$满足$|X|,|Y|,|Z|<\rho$，且$C(X,Y)$和$C(Z,Y)$都收敛。那么级数$C(X+Y,Z)$是否仍然收敛？

我的推导思路（个人猜想收敛） #

我倾向于认为$C(X+Y,Z)$是收敛的，推导过程如下：

首先，BCH级数的另一种表达式为：
$$
C(X,Y) = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \left(\sum_{n \geq 0} \sum_j^{{n}\frac{1}{j!(n-j)!}X}{n-j}Y^j\right)k,
$$

将其中的$X$替换为$X+Y$，得到$C(X+Y,Z)$的表达式：
$$
C(X+Y,Z) = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \left(\sum_{n \geq 0} \sum_j^{{n}\frac{1}{j!(n-j)!}(X+Y)}{n-j}Z^j\right)k,
$$

这里的$(X+Y)^{n-j}$是$n-j$次齐次多项式，考虑到李代数的非交换性，它可以展开为一系列形如$k_{i,j} X^{i} Y^{n-j-i}$或$k_{i,j} Y^{i} X^{n-j-i}$的项，其中系数$k_{i,j} = \binom{n-j}{i}$（类似非交换二项式展开）。代入后$C(X+Y,Z)$可改写为：
$$
C(X+Y,Z) = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \left(\sum_{n \geq 0} \sum_j^{n} \sum_{i}\frac{1}{j!(n-j)!} P_i(X,Y)Z^j\right)k,
$$
其中$P_i(X,Y)$是$X$和$Y$的$n-j$次齐次单项式。

由于$|X|,|Y|,|Z|$都小于原始收敛半径$\rho$，我猜测这些齐次项的范数会被控制在足够小的范围内，从而保证整个级数的收敛性。另外，我也考虑过用伴随算子的形式展开$(X+Y)^{n-j}$：
$$
(X+Y)^{n-j} = \sum_{i}^{n-j} \binom{n-j}{i}\left( (X + \text{ad}_Y)^i Y^{n-j-i}\right),
$$
这似乎也能支持收敛性的结论——毕竟每个$X,Y,Z$的范数都在收敛域内。

我知道当$|X+Y|< \rho$时，收敛性是直接成立的，但现在的情况是$X,Y$各自的范数小于$\rho$，但它们的和的范数可能超过$\rho$吗？不过即使如此，我还是觉得$C(X+Y,Z)$应该收敛。

延伸问题 #

另外还有一个延伸问题：如果考虑$C(X_1 + X_2 + ... + X_m, Y)$，其中每个$|X_i|, |Y|< \rho$，这个级数是否也收敛？

如果我的推导有漏洞，或者需要添加额外的假设（比如关于可解李代数的特殊性质），请各位指出！非常感谢大家的帮助。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tmath