已知det(A)=1的3阶实矩阵A，推导AA^T特征值时出现矛盾的问题求助

嘿，我来帮你揪出推导里的问题！首先，你在这一步犯了一个关键错误：把tr((AA^T){-1})和1/||A||²划了等号，这完全不成立哦！

咱们一步步理清楚：

1. 先确认正确的部分：
   对于可逆矩阵M，伴随矩阵$\text{adj}(M)=\text{cof}(M)^T=\det(M)M{-1}$，所以转置后$\text{cof}(M)=\det(M)(M^{-1})T$。因为$\det(AA^{T)=\det(A)\det(A}T)=1$，所以$\text{cof}(AA^T)=(AAT)^{{-T}$，进而$\text{tr}(\text{cof}(AA}T))=\text{tr}((AA^T){-T})=\text{tr}((AA^T){-1})$，这部分你是对的。

2. 错误的核心：
   $|A|^{2=\text{tr}(AA}T)$，也就是$AA^{T$的三个特征值之和（假设$AA}T$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，都是正实数，因为$AA^T$是正定实对称矩阵），记这个和为$S=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$。
   而$(AA^T){-1}$的特征值是$1/\lambda_1,1/\lambda_2,1/\lambda_3$，所以$\text{tr}((AA^T){-1})=1/\lambda_1+1/\lambda_2+1/\lambda_3$。又因为$\det(AA^T)=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=1$，这个值可以转化为$\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2$（记为$T$）。
   但你错误地把$T$当成了$1/S$，也就是$1/(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)$，这完全是两回事！只有在非常特殊的情况下（比如两个特征值互为倒数、第三个为1），$T$才会等于$S$，更别说等于$1/S$了。

3. 错误的因式分解导致矛盾：
   基于$T=1/S$这个错误前提，你把特征多项式写成了$\lambda^3 - S\lambda^2 + \frac{1}{S}\lambda - 1$，然后因式分解为$(\lambda - S)(\lambda^2+\frac{1}{S} )$，这自然会得到复根。但实际上正确的特征多项式应该是$\lambda^3 - S\lambda^2 + T\lambda - 1$，其中$T=\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2$，而因为$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$都是正实数，这个三次多项式的根必然都是正实数，完全符合$AA^T$正定的性质。

举个例子直观验证：
取$A$为对角矩阵$\text{diag}(2,3,1/6)$，$\det(A)=2×3×(1/6)=1$，$AA^T=\text{diag}(4,9,1/36)$。

• $\text{tr}(AA^T)=4+9+1/36=475/36≈13.194$
• $\text{tr}((AA^T){-1})=1/4 +1/9 +36≈36.361$，显然不等于$1/(475/36)=36/475≈0.0758$，这就直接戳破了$\text{tr}((AA^T){-1})=1/|A|^2$的错误。

而$AA^T$的特征多项式的根就是$4,9,1/36$，都是正实数，完全没问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者brighton