使用泰勒级数求解单侧极限的错误排查求助

我遇到了一个必须用泰勒级数求解的单侧极限，但一直找不到自己哪里错了，也搞不懂正确结果是怎么来的...

需要求解的极限是：
$$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1 + \sqrt{1-\cos(x)})}{1-e^{\sin(3x)}}$$

已知正确结果是 $-\frac{1}{3\sqrt{2}}$。

下面是我自己的推导过程，虽然感觉一团糟但还是列出来了：

首先处理分母，我对指数函数展开，再对其自变量展开到二阶：
$$
\begin{align}
e^{\sin(3x)} & = 1 + \sin(3x) + \frac{1}{2}\sin^2(3x) + o(\sin^2(3x)) \\
& = 1 + \left[3x + o(x^2)\right] + \frac{1}{2}\left[x + o(x)\right]^2 + o (x^2) \\
& = 1 + 3x + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)
\end{align}
$$

接下来处理分子的对数，我用了对数的泰勒展开：
$$
\begin{align}
\ln(1 + \sqrt{1-\cos(x)}) = \sqrt{1-\cos(x)} - \frac{1}{2}(1-\cos(x)) + o(1-\cos(x))
\end{align}
$$

然后我尝试用$(1 + z)^{\alpha}$（其中$\alpha = 1/2$）的展开式，最后再展开余弦函数：
$$
\begin{align}
& \Big(1 - \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{3}{8}\cos^2(x) + o(\cos^2(x))\Big) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(x) + o(x^2) \\
& = \frac{1}{2} + \frac{3}{8}\cos^2(x) + o(x^2) \\
& = \frac{1}{2} + \frac{3}{8}\left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)2 + o(x^2) \\
& = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \left(1 - x^2 + o(x^2)\right) \\
& = \frac{7}{8} + \frac{3x^2}{8} + o(x^2)
\end{align}
$$

把推导结果代入极限式后：
$$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1 + \sqrt{1-\cos(x)})}{1-e^{\sin(3x)}} = \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{7}{8} + \frac{3x^2}{8} + o(x^2)}{-3x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)}$$

我用了小o代数的规则，提取$x^2$整理：
$$\lim_{x\to 0^+} \frac{x^{2\left(\frac{7}{8x}2} + 3 + \frac{o(x^2)}{x2}\right)}{x^2 \left(-\frac{3}{x} - \frac{1}{2} + \frac{o(x^2)}{x2}\right)} = \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{7}{8x^2} + 3}{-\frac{3}{x}-\frac{1}{2}} = \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{7 + 24 x^2}{8x2}}{\frac{-6-x}{2x}}$$

显然这个结果和正确答案$-\frac{1}{3\sqrt{2}}$完全对不上，我已经试了七八次了，每次都得到错误的结果。

有没有人能帮我找出问题所在？谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Heidegger