关于莱布尼茨1684年德博纳问题解法中几何序列与对数方程推导关联的技术问询

嘿，我来帮你把莱布尼茨的离散几何序列推导和最终的对数方程无缝衔接起来，一步步拆解清楚：

先回顾问题背景 #

德博纳的问题是找一条具有恒定次切线的曲线，对应到现代微分方程就是 dw/dx = w/a，它的连续解是指数函数族 w = Ce^(x/a)，整理后也能写成对数形式 x = a log(w/C)（其中C是初始值）。

莱布尼茨的离散差分思路（当时微积分还在萌芽阶段） #

莱布尼茨用的是有限小的差分而非无穷小微分，他设定 dx = b（一个固定的小常数），从次切线的几何关系推导出差分等式：
a/b dw = w
整理后得到每一步的w增量：
w + dw = w + (w/a)dx = w(1 + b/a)

这就意味着，当x按算术级数增长时（x, x+b, x+2b,...,x+nb），w会按几何级数增长，首项为W₀=C的话，第n项就是：
Wₙ = C(1 + b/a)ⁿ

从离散序列过渡到连续对数方程的关键 #

现在把离散的n和连续的x对应起来：莱布尼茨的x序列里，第n步的x值是x = nb（假设初始x=0），所以n = x/b，把这个代入几何序列的式子：
w = C(1 + b/a)^(x/b)

接下来要用到极限思想（这也是离散差分逼近连续微分的核心），我们知道经典极限公式：
lim_{k→∞} (1 + 1/k)^k = e

做个变量替换：令k = a/b，当b→0（也就是dx趋近于无穷小，离散越来越接近连续）时，k→∞，此时：
(1 + b/a) = (1 + 1/k)，而x/b = xk/a

把这些代入上面的式子，就会得到：
(1 + b/a)^(x/b) = [(1 + 1/k)^k]^(x/a) → e^(x/a)

这样就得到了连续情况下的指数解 w = Ce^(x/a)，两边取自然对数并整理：
log(w/C) = x/a → x = a log(w/C)

莱布尼茨表述的本质 #

莱布尼茨说“若x成算术级数，w成几何级数，x就是w的对数”，其实就是在描述这种离散情况下的对应关系；当我们把差分的步长无限缩小，这种离散的算术-几何对应就转化为了连续的对数-指数函数关系，也就是他所说的“对数曲线”。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MrMagoo