关于函数$f(x, y) = x^2 −y^4$原点为鞍点的判定疑问

嘿，我完全懂你的困惑——当Hessian测试结果为0的时候，标准判别法直接失效，确实容易让人卡壳。不过别着急，我们可以回到鞍点的核心定义来分析这个临界点的性质，其实一点都不复杂~

首先先确认你的前期计算：你说原点处对x和y的偏导数都为0，这点是对的，所以原点确实是函数的临界点。之后算出的二阶偏导$f_{xx}=2$、$f_{yy}=-12y^2$（在原点处就是0）、$f_{xy}=0$，进而得到Hessian行列式$D=2*0 - 0^2=0$，这些计算也没问题，Hessian测试在行列式为0时确实无法给出明确结论，这是这个方法的局限性。

那怎么判断呢？我们直接看鞍点的定义：如果在临界点的任意小邻域内，既存在函数值大于该点的点，也存在函数值小于该点的点，那这个点就是鞍点。对于$f(x,y)=x^2 - y^4$，原点处的函数值$f(0,0)=0$，我们找附近的点验证：

• 取x轴上的点（y=0，x≠0），此时$f(x,0)=x^{2$，显然$x}2>0$，也就是这些点的函数值都比原点大；
• 取y轴上的点（x=0，y≠0），此时$f(0,y)=-y^{4$，因为$y}4>0$，所以$-y^4<0$，这些点的函数值都比原点小。

你看，原点周围随便找个小邻域，里面既有比原点函数值大的点，又有比它小的点，完美符合鞍点的定义，所以原点就是鞍点啦。这种Hessian测试失效的情况，回到定义或者分析函数在不同方向上的取值变化，往往就能找到答案~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ataberk Yanardağ