关于p-西罗子群数量nₚ的概念困惑及pᵏ阶群中pᵏ⁻¹阶子群唯一性证明的疑问

我刚开始学习西罗定理，遇到了一个基础的概念问题，想请大家帮忙解答：

首先有这么一个结论：

若$G$是$p^{k$阶群（$p$为素数），则$G$中任意$p}{k-1}$阶子群$H$都是正规子群。

我尝试去证明**$G$中仅存在一个$p^{k-1}$阶子群**，我的思路是这样的：
设$n_p$为$G$的$p$-西罗子群的数量，根据西罗定理，$n_p = 1 + pq$（$q$是非负整数），且$n_p$整除群的阶$|G|=p^k$。那么满足这个条件的只有$n_p=1$，这是不是就意味着$G$只有一个$p$-西罗子群？

但这里我产生了困惑：我是不是搞错了$n_p$的定义？因为西罗定理还提到，只要$p^{a$整除$|G|$，$G$就存在$p}a$阶子群，那对于$a < k$的那些$p^a$阶子群，难道它们也算$p$-西罗子群吗？如果是这样的话，$n_p$不就应该大于1了？

我看教材里的例子都能明白，但一到这个情况就感觉和定理矛盾了，实在搞不清楚$n_p$到底指代的是什么，希望大家能帮我理清这个概念，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ends7