约尔当-赫尔德定理中合成因子需置换的场景及示例问询

嘿，这个问题问到点子上了！确实存在这样的例子——而且找起来一点都不复杂，咱们拿个最直观的交换群例子来说明：

我们取群$G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$（也就是6阶循环群，因为2和3互素，这个群和$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$同构），给它构造两个不同的合成系列：

第一个合成系列：

• $H_0 = { (0,0) }$，$H_1 = { (0,0), (1,0) }$（也就是$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times {0}$），$H_2 = G$
  对应的合成因子是：
  • $H_1/H_0 \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（2阶循环群）
  • $H_2/H_1 \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$（3阶循环群）

第二个合成系列：

• $K_0 = { (0,0) }$，$K_1 = { (0,0), (0,1), (0,2) }$（也就是${0} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$），$K_2 = G$
  对应的合成因子是：
  • $K_1/K_0 \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$
  • $K_2/K_1 \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

你看，这两个系列的对应位置合成因子完全不匹配：第一个系列的第一个因子是2阶群，第二个是3阶；第二个系列刚好反过来。这时候显然没法让每个$i$都满足$H_{i+1}/H_i \cong K_{i+1}/K_i$，但只要把第一个系列的合成因子顺序调换（也就是取非恒等置换$\sigma = (1\ 2) \in S_2$），就能让$H_{\sigma(i+1)}/H_{\sigma(i)}$和$K_{i+1}/K_i$一一对应同构了。

如果想要非交换群的例子也很容易，比如取两个不同构的非交换单群——比如60阶的$A_5$和360阶的$A_6$，做它们的直积$G = A_5 \times A_6$：

• 第一个合成系列：$1 \lhd A_5 \lhd A_5 \times A_6$，合成因子是$A_5$和$A_6$
• 第二个合成系列：$1 \lhd A_6 \lhd A_5 \times A_6$，合成因子是$A_6$和$A_5$
  同样的道理，对应位置的合成因子不同构，但用一个交换顺序的非恒等置换就能完美匹配同构关系。

本质上，只要群能拆分成两个不同构的单群的直积，我们就能通过“先取第一个单群作为中间正规子群”和“先取第二个单群作为中间正规子群”来构造这样的合成系列，它们的合成因子顺序恰好相反，这时候就必须用到非恒等置换来匹配同构的合成因子了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joe