关于n维向量空间中反对称p张量空间维度的技术疑问
嘿，我来帮你把这个问题掰明白！首先得抓住反对称p张量的核心性质——交换任意两个输入向量，张量值会变号，这个性质直接否决了你提到的$\omega(e_{i_1}, e_{i_1},\cdots)$作为基元素的可能，咱们先从这点说起：
为什么$\omega(e_{i_1}, e_{i_1},\cdots)$不能进基？
根据反对称张量的定义，交换任意两个输入位置的向量，结果等于原结果的相反数：
$\omega(x_1, \cdots, x_s, \cdots, x_l, \cdots, x_p) = -\omega(x_1, \cdots, x_l, \cdots, x_s, \cdots, x_p)$
如果让$x_s = x_l = e_{i_1}$，那交换这两个位置后，输入序列完全没变，所以：
$\omega(\cdots, e_{i_1}, e_{i_1}, \cdots) = -\omega(\cdots, e_{i_1}, e_{i_1}, \cdots)$
能同时等于自己和自己相反数的实数只有0，也就是说所有包含重复输入向量的反对称张量值都是0，这类元素全是零元，根本没法作为线性空间的基（基必须是线性无关的非零元素）。
为什么反对称p张量空间的维度是$\binom{n}{p}$？
咱们从张量空间的基础出发：
- n维向量空间$V$的对偶空间$V*$有基${e_1, e_2^, \dots, e_n*}$（$e_i*(e_j) = \delta_{ij}$，克罗内克函数）。
- 普通的p张量空间（所有p线性映射$V^p \to \mathbb{R}$）的基是所有形如$e_{i_1}^* \otimes e_{i_2}^* \otimes \dots \otimes e_{i_p}*$的元素，总共有$np$个。
但反对称p张量是普通p张量的子空间，我们可以对普通张量基做反对称化（也就是楔积$\wedge$）：
$$e_{i_1}^* \wedge e_{i_2}^* \wedge \dots \wedge e_{i_p}^* = \frac{1}{p!}\sum_{\sigma \in S_p} \text{sgn}(\sigma) e_{i_{\sigma(1)}}^* \otimes \dots \otimes e_{i_{\sigma(p)}}^*$$
其中$S_p$是p元置换群，$\text{sgn}(\sigma)$是置换的符号。
现在关键来了：
- 如果指标$i_1, i_2, \dots, i_p$中有重复，反对称化后的结果就是0（和之前的道理一样，交换重复指标会得到相反数，最终抵消为0）。
- 只有当指标满足$i_1 < i_2 < \dots < i_p$时，反对称化后的结果才是非零的，而且这些元素是线性无关的。
从n个指标里选出p个不同的、按递增顺序排列的组合数正好是$\binom{n}{p}$，这些组合对应的楔积元素构成了反对称p张量空间的一组基，所以空间的维度就是$\binom{n}{p}$。
简单总结：反对称性直接排除了所有带重复指标的基元素，剩下的正好是从n个基向量中选p个不同的组合，对应组合数的数量。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者iiivyliu
