关于“每个具有可数基的连通正则空间不可数”的错误反例疑问

嗨，我来帮你理清这个问题的关键所在——你的例子根本不连通，这就是它和定理不矛盾的核心原因！

先回顾一下你的构造：你定义空间$X := {\frac{m}{n}:m,n \in \mathbb Z^+, m \leq n}$，将它作为$\mathbb R$标准拓扑下的子空间。这个空间确实是可数的，也确实满足正则性（因为$\mathbb R$是正则空间，子空间会继承正则性），但你误以为它是连通的，这就是错误的根源。

我们可以直接构造出$X$的一个分离（即两个非空不交的开子集，它们的并集是整个$X$）：

• 取一个不在$X$中的无理数，比如$a = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$（因为$X$全是有理数，所以这个无理数肯定不在$X$里）。
• 定义两个子集：
  • $U = X \cap (-\infty, a)$
  • $V = X \cap (a, +\infty)$

接下来验证这两个子集满足分离的条件：

1. 都是$X$的开子集：因为$(-\infty,a)$和$(a,+\infty)$是$\mathbb R$中的开集，而子空间的开集就是原空间开集与子空间的交集，所以$U$和$V$符合$X$的开集定义。
2. 不交：显然没有数能同时小于$a$和大于$a$，且$a$不在$X$中，因此$U \cap V = \emptyset$。
3. 都非空：比如$\frac{1}{2} \in U$，$\frac{3}{4} \in V$，两个子集都有元素。
4. 并集是$X$：$X$中的每个元素都是有理数，要么小于$a$，要么大于$a$，不存在等于$a$的元素，因此$U \cup V = X$。

这就明确证明了$X$是不连通的，完全不符合定理中“连通正则空间”的前提条件。

再补充一个更本质的结论：所有有理数的子空间都是完全不连通的——也就是说，空间里的每个连通分支都是单点集。假设$X$中存在一个包含两个不同点$p < q$的连通子集$C$，那么$C$作为$\mathbb R$的子空间也必须是连通的，根据$\mathbb R$的连通性性质，$C$必须包含$p$和$q$之间的所有实数，但$p$和$q$之间有无穷多无理数，这些数不在$C$中，这就产生了矛盾。因此$X$里根本不存在非单点的连通子集，自然不可能是连通空间。

这样一来，你的例子就不构成定理的反例了，问题出在对连通性的错误判断上。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kenneth Winters