关于Dirichlet Beta函数的求和等式推导及收敛性的技术问询

我最近在研究这个定积分：
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(\ln(\tan x))dx$$

做变量替换 $\ln(\tan x) = u$ 并调整上下限后，积分简化成了：
$$I = \int_0^{\infty} \frac{\cos u \cdot e^u}{1+e{2u}}du$$

进一步整理后可以写成：
$$I = \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\infty} \frac{\cos u}{\cosh u} du$$

接下来我用了$\cos x$的麦克劳林展开式：
$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

把这个级数代入积分里：
\begin{align}
I
&= \int_0^{\infty} \frac{e^u}{1+e{2u}} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-1)n \cdot \frac{u^{2n}}{(2n)!} du \
&= \int_0^{\infty} \frac{e^u}{1+e{2u}}du - \frac{1}{2!}\cdot \int_0^{\infty} \frac{u^2eu}{1+e^{2u}}du + \frac{1}{4!} \cdot \int_0^{\infty} \frac{u^4eu}{1+e^{2u}}du +\ldots
\end{align}

重新整理项之后得到：
$$I = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{(-1)}n}{(2n)!} \cdot \int_0^{\infty} \frac{u^{2n}eu}{1+e^{2u}} du$$

这里我用了已知的积分结果，把$n$换成$2n$后有：
$$\int_0^{\infty} \frac{u^{2n}eu}{1+e^{2u}} du = \Gamma(2n+1)\beta(2n+1) = (2n)!\beta(2n+1)$$

把这个等式代回原来的积分，会发现$(2n)!$项抵消了，最终得到：
$$I = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)n\beta(2n+1)$$

同时，从同问题的回答评论里，令$t=1$可以得到：
$$I = \frac{1}{2}\int_0^{\infty} \frac{\cos u}{\cosh u} du = \frac{\pi}{4}\cdot \operatorname{sech}(\frac{\pi}{2})$$

这时候我产生了疑问：下面这个等式是否成立？
$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)n\beta(2n+1) = \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{sech}(\frac{\pi}{2})$$

从WolframAlpha的计算结果来看这个等式似乎是对的，但我想知道有没有其他方法可以推导出来？左边的求和看起来有点棘手，结果却能简化成右边这个简洁的表达式。

另外还有一个问题：评论里提到当$k$趋近于$\infty$时，$\beta(2k+1)$的极限是1，既然如此，为什么这个级数还能收敛呢？

感谢各位的阅读，欢迎提出任何建议和解答。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1173615