如何求Lambert W函数$W(x+\ln|x+2|+b)$对$x$的导数？

没问题，我来一步步给你讲清楚怎么求这个导数，顺便把验证原微分方程的步骤也串起来，这样你就能彻底搞懂啦～

第一步：先搞懂Lambert W函数的基本导数性质 #

Lambert W函数（也就是乘积对数函数）的核心定义是满足方程：
$$z = W(z)e^{W(z)}$$
我们对这个等式两边关于$z$求导，用乘积法则处理右边：
左边导数是$1$；右边导数为$W'(z)e^{W(z)} + W(z)e^{{W(z)}W'(z)$，提取公因子后得到$W'(z)e}{W(z)}(1+W(z))$。

把两边联立起来解方程，就能得到$W(z)$的导数：
$$W'(z) = \frac{1}{e^{W(z)}(1+W(z))}$$

另外，利用定义式$z = W(z)e^{{W(z)}$，我们可以把$e}{W(z)}$替换成$\frac{z}{W(z)}$，这样导数也能写成更便于计算的形式：
$$W'(z) = \frac{W(z)}{z(1+W(z))}$$
这两个形式都能用，看后续场景哪个更顺手。

第二步：用链式法则求复合函数的导数 #

你的目标函数是$W\left(x + \ln|x+2| + b\right)$，这是个典型的复合函数——我们先令$z(x) = x + \ln|x+2| + b$，根据链式法则，复合函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数，也就是$W'(z(x)) \cdot z'(x)$。

先算内层函数$z(x)$的导数：
对$x$求导时，$x$的导数是$1$，$\ln|x+2|$的导数是$\frac{1}{x+2}$，常数$b$的导数是$0$，所以：
$$z'(x) = 1 + \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) + 1}{x+2} = \frac{x+3}{x+2}$$

再把$W'(z(x))$和$z'(x)$相乘，就得到最终的导数了：
$$\frac{d}{dx}W\left(x + \ln|x+2| + b\right) = \frac{W(z(x))}{z(x)(1+W(z(x)))} \cdot \frac{x+3}{x+2}$$
或者用另一种形式表达：
$$\frac{d}{dx}W\left(x + \ln|x+2| + b\right) = \frac{1}{e^{W(z(x))}(1+W(z(x)))} \cdot \frac{x+3}{x+2}$$

第三步：顺便帮你验证原微分方程（这样你就明白导数的用处了） #

原方程是：
$$(xy+2y+x+2)y'=e^{-y}(x+3)$$
先把左边的表达式因式分解简化一下：
$$xy+2y+x+2 = y(x+2) + (x+2) = (x+2)(y+1)$$
所以左边就变成了$(x+2)(y+1)y'$。

现在把$y = W(z(x))$和我们刚求出的$y'$代入左边：
$$(x+2)(y+1) \cdot \frac{1}{e^y(1+y)} \cdot \frac{x+3}{x+2}$$
你看，$(x+2)$和分母的$(x+2)$约掉，$(y+1)$和分母的$(1+y)$也约掉，最后剩下$\frac{x+3}{e^{y}$，也就是$e}{-y}(x+3)$，正好和原方程的右边完全相等！这样就验证了你得到的解是正确的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CrSb0001