Sobolev空间$H^s(\mathbb{R}^n)$中的收敛性与正则性推导问题

咱们来一步步拆解这个问题，从你已经给出的Fourier变换思路出发，核心是利用缓增分布的收敛唯一性和Sobolev空间的完备性来推导结论。

首先明确已知条件：

• $u_n \in H^{s+2}$，且$u_n \to u$在$H^s(\mathbb{R}n)$中；
• $\nabla u_n \to \nabla u$在$H^s(\mathbb{R}n)$中；
• $\Delta u_n \to f$在$H^s(\mathbb{R}n)$中；
• Sobolev空间的Fourier定义：$H^s(\mathbb{R}n):={u \in \mathcal{S}': \int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|²⁾{s} |\hat{u}(\xi)|^2 d\xi <+\infty }$，其中$\mathcal{S}'$是缓增分布。

第一步：推导$\Delta u = f$（即$\hat{f} = -|\xi|^2\hat{u}(\xi)$） #

首先回忆拉普拉斯算子的Fourier变换性质：$\widehat{\Delta u_n}(\xi) = -|\xi|^2\hat{u}_n(\xi)$。

因为$\Delta u_n \to f$在$H^{s$中，而$H}s$中的收敛必然蕴含缓增分布意义下的收敛（$H^s$连续嵌入到$\mathcal{S}'$），所以$\widehat{\Delta u_n} \to \hat{f}$在$\mathcal{S}'$中，也就是$-|\xi|^2\hat{u}_n(\xi) \to \hat{f}(\xi)$作为缓增分布收敛。

另一方面，$u_n \to u$在$H^s$中，同样能推出$\hat{u}_n \to \hat{u}$在$\mathcal{S}'$中。而乘以多项式$|\xi|^{2$是缓增分布空间$\mathcal{S}'$上的连续线性运算，所以$-|\xi|}2\hat{u}_n(\xi) \to -|\xi|^2\hat{u}(\xi)$在$\mathcal{S}'$中。

缓增分布的极限是唯一的，因此必然有$\hat{f}(\xi) = -|\xi|^2\hat{u}(\xi)$。又因为Fourier变换是$\mathcal{S}'$上的同构，这就意味着在分布意义下$\Delta u = f$。

第二步：证明$u \in H^{{s+2}(\mathbb{R}}n)$ #

要证$u \in H^{s+2}$，根据定义需要验证：
$$\int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|²⁾{s+2} |\hat{u}(\xi)|^2 d\xi < +\infty$$

先把被积函数展开：
$$(1+|\xi|²⁾{s+2} = (1+|\xi|²⁾s \cdot (1+|\xi|²⁾2 = (1+|\xi|²⁾s \left(1 + 2|\xi|^2 + |\xi|^4\right)$$

积分可以拆成三项：
$$
\begin{align*}
&\int(1+|\xi|²⁾s |\hat{u}|^2 d\xi + 2\int(1+|\xi|²⁾s |\xi|^2|\hat{u}|2 d\xi + \int(1+|\xi|²⁾s |\xi|^4|\hat{u}|2 d\xi \
=& |u|{H^s}2 + 2|\nabla u|{H^s}2 + ||\xi|^2\hat{u}|_{Hs}^2
\end{align*}
$$

现在逐一分析每一项的有限性：

1. 第一项$|u|_{H^s}2$有限：因为$u_n \to u$在$H^s$中，所以$u \in H^s$；
2. 第二项$|\nabla u|_{H^s}2$有限：因为$\nabla u_n \to \nabla u$在$H^s$中，所以$\nabla u \in H^s$；
3. 第三项$||\xi|^2\hat{u}|_{Hs}^2$有限：因为$\Delta u_n \to f$在$H^{s$中，而$H}s$是完备的Hilbert空间，序列${\widehat{\Delta u_n}} = {-|\xi|^{2\hat{u}_n}$是$H}s$中的柯西序列，它的极限是$\hat{f}$。我们已经知道$\hat{f} = -|\xi|^{2\hat{u}$，所以$-|\xi|}2\hat{u} \in H^s$，即该项积分有限。

三项都有限，因此$|u|_{H^{s+2}}2$有限，即$u \in H^{s+2}$。

补充：整数$s$的特殊情况 #

你提到当$s$是整数时，Sobolev空间和传统弱导数定义一致，这时候可以通过检验紧支集光滑函数来验证结论，本质上和上面的推导相通——弱导数的收敛对应分布意义下的收敛，而分布极限的唯一性同样是核心依据。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者vent de la paix