关于从四对夫妻中选取两支满足特定条件的混合双打队伍的组合数求解咨询

问题描述 #

从四对夫妻中选取两支混合双打队伍参加网球锦标赛，要求如果有夫妻参赛，那么他们必须在同一支队伍中。总共有多少种选法？

你的解题思路 #

你尝试分三种情况计算，但最终得到150种，和正确答案42不符，你的思路是：

• Case1：每对夫妻各出一名选手：认为有 $2^4$ 种选法，再乘以3种队伍分法，得到 $3×2^4$ 种
• Case2：只有夫妻组队参赛：选两对夫妻，有 $\binom{4}{2}$ 种方式
• Case3：只有一对夫妻参赛：先选4种选择挑出这对夫妻，再用6×4种方式填充剩余位置，得到 $4 × 6× 4$ 种
• 总计：$3×16 + 6 + 96 = 150$ 种

错误分析与正确解法 #

你的思路存在几个关键问题：比如Case1包含了无法组成两支混合双打队伍的人选组合（比如1男3女），而且分法计算错误；Case3则存在重复计算和逻辑漏洞。我们重新梳理正确的分情况讨论：

首先明确：两支混合双打队伍需要共4人（2男2女，每队1男1女），且满足「夫妻参赛必同队」的条件。

情况1：4人中无任何夫妻

• 先选2名男性：$\binom{4}{2}=6$ 种选法
• 再选2名女性：这两名女性不能是选中男性的妻子（否则就出现夫妻了），4对夫妻里排除2名选中男性的妻子，只剩2名女性可选，只有1种选法
• 分组方式：把2男2女分成两支混合双打队伍，只有2种分法（比如男A配女C、男B配女D，或者男A配女D、男B配女C）
• 此部分总数：$6×1×2=12$

情况2：4人中恰好有一对夫妻，另外两人非夫妻

• 先选参赛的夫妻：$\binom{4}{1}=4$ 种选法
• 选剩余1名男性：从剩下的3名男性里选，共3种选法
• 选剩余1名女性：不能是选中男性的妻子（否则就变成两对夫妻，属于情况3），也不能是已选夫妻的妻子，所以有 $4-1-1=2$ 种选法
• 分组方式：因为夫妻必须同队，所以只能是这对夫妻组成一队，剩下的一男一女组成另一队，只有1种分法
• 此部分总数：$4×3×2=24$

情况3：4人是两对夫妻

• 选两对夫妻：$\binom{4}{2}=6$ 种选法
• 分组方式：每对夫妻各自组成一队，只有1种分法
• 此部分总数：6

把三种情况相加：$12+24+6=42$，这就是正确答案。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PandaScientist