域的严格比较关系下Cantor–Schröder–Bernstein性质及代数自同态的相关技术问询

我们知道，Cantor–Schröder–Bernstein（简称CSB）定理的自然类比在域论中并不成立——也就是说，存在域对$E$和$K$，$E$同构于$K$的某个子域，$K$也同构于$E$的某个子域，但$E$和$K$本身并不同构。

接下来我们探讨在更严格的域比较关系下，CSB性质是否成立：

先定义严格比较关系 #

设$E$和$K$是域，我们称**$E\leq K$**当且仅当：$E$同构于$K$的某个子域，并且$K$在这个子域上是代数的。更明确地说，就是存在单射域同态$\phi:E\rightarrow K$，使得$K$在$\phi(E)$上是代数的，这类同态我们称之为代数同态。

核心问题1 #

如果$E\leq K$且$K\leq E$，是否一定有$E\cong K$？

相关问题2 #

给定域$E$，若$f:E\rightarrow E$是代数自同态（即$E$在$f(E)$上是代数的），是否一定有$E=f(E)$？也就是$f$必须是$E$的自同构吗？

问题2的反例

@Martin Brandenburg指出，对任意域$k$，映射$f:k(T)\rightarrow k(T)$（线性延拓$T\mapsto T^2$）就是一个反例。$f$是域自同态，且$k(T)$在$f(k(T))$上是代数的，但显然$f$不是满射，因此$E\neq f(E)$。

问题2的肯定情形：定理1

设$E$是域，$f:E\rightarrow E$是代数域自同态（即$E$在$f(E)$上代数）。令$F={x\in E:|:f(x)=x}$，则$F$是$E$的子域，且$F\subseteq f(E)$。如果$E$在$F$上是代数的，那么必有$E=f(E)$。

证明：
对任意$\alpha\in E$，我们要证$\alpha\in f(E)$。设$\min_F(\alpha)$是$\alpha$在$F$上的首一不可约极小多项式，次数为$d=\text{deg}F(\alpha)$。考虑集合$S={f^n(\alpha)}{0\leq n\leq d}$，其中$f^n(\alpha)$表示$f$迭代$n$次作用在$\alpha$上的结果。

因为$F$被$f$逐点固定，$S$中的每个元素都是$\min_F(\alpha)$的根。但$\min_F(\alpha)$最多只有$d$个根，而$S$有$d+1$个元素，这说明存在$k>0$使得$\alpha=f^{k(\alpha)$，显然$f}k(\alpha)\in f(E)$，故$\alpha\in f(E)$。$\blacksquare$

两个问题的关联 #

假设存在代数同态$f:E\rightarrow K$和$g:K\rightarrow E$。因为$K$在$f(E)$上代数，所以$g(K)$在$gf(E)$上代数；又因为$E$在$g(K)$上代数，故$E$在$gf(E)$上代数。如果问题2的答案是肯定的，那么$E=gf(E)$，进而$g$和$f$都是同构映射。

核心问题1的肯定情形：定理2 #

设$E$和$K$是域，$f:E\rightarrow K$和$g:K\rightarrow E$是代数同态。令$F={x\in E:|:gf(x)=x}$，则$F$是$E$的子域。如果$E$在$F$上是代数的，那么$f$和$g$实际上是$E$和$K$之间的同构。

证明：
对复合同态$gf:E\rightarrow E$应用定理1，可得$gf(E)=E$，因此$g:K\rightarrow E$是满射；又因为域同态都是单射，所以$g$是同构。而$gf$和$g$都是同构，故$f$也必是同构。$\blacksquare$

推论

设$E$和$K$都是各自素域（唯一极小子域）上的代数域。如果存在代数同态$f:E\rightarrow K$和$g:K\rightarrow E$，那么$E\cong K$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者semisimpleton