含两个函数的一阶常微分方程组求解方法咨询

嘿，这个问题其实可以通过极坐标变换的思路来巧妙解决，我给你一步步拆解一下：

首先，先明确给定的两个核心方程：
$$
f(t)g'(t) - f'(t)g(t) = A(t),\quad
f(t)^2 + g(t)^2 = B(t)
$$

关键观察：构造角度函数$\theta(t)$ #

注意到第一个方程的左边，正好是极坐标下角度导数的分子部分。我们定义$\theta(t)$为满足以下关系的函数：
$$
\cos\theta(t) = \frac{f(t)}{\sqrt{B(t)}}, \quad \sin\theta(t) = \frac{g(t)}{\sqrt{B(t)}}
$$
（这里要保证$B(t) > 0$，若$B(t)=0$则必有$f(t)=g(t)=0$，此时$A(t)$也必须为0，否则方程组无解）

对$\theta(t)$求导，利用复合求导法则可得：
$$
\theta'(t) = \frac{f(t)g'(t) - f'(t)g(t)}{f(t)^2 + g(t)^2} = \frac{A(t)}{B(t)}
$$

求解$\theta(t)$ #

我们可以通过积分得到$\theta(t)$的表达式：
$$
\theta(t) = \theta_0 + \int_0^t \frac{A(s)}{B(s)} ds
$$
其中$\theta_0$由初始条件直接确定：
$$
\cos\theta_0 = \frac{f(0)}{\sqrt{B(0)}}, \quad \sin\theta_0 = \frac{g(0)}{\sqrt{B(0)}}
$$
（这里不用局限于$\arctan(g(0)/f(0))$，可以直接根据初始值的符号确定$\theta_0$所在的象限，避免$f(0)=0$时的歧义）

构造$f(t)$和$g(t)$的解 #

结合第二个方程$f(t)^2 + g(t)^2 = B(t)$，我们可以直接写出$f(t)$和$g(t)$的表达式：
$$
f(t) = \sqrt{B(t)} \cos\theta(t)
$$
$$
g(t) = \sqrt{B(t)} \sin\theta(t)
$$

验证解的正确性 #

把上述表达式代入第一个方程验证：
计算$f(t)g'(t) - f'(t)g(t)$，化简后会发现结果正好等于$A(t)$，完全满足原方程的条件，同时也完美匹配初始值要求。

特殊情况说明 #

• 如果$A(t) \equiv 0$，则$\theta(t) = \theta_0$，即$f(t)$和$g(t)$始终保持初始的比例关系，此时解可以简化为：
  $$
  f(t) = f(0) \cdot \sqrt{\frac{B(t)}{B(0)}}, \quad g(t) = g(0) \cdot \sqrt{\frac{B(t)}{B(0)}}
  $$
  （符号与初始值保持一致）
• 如果$B(t)$在某点为0，此时必须有$A(t)$也为0，否则方程组无解，解为$f(t)=g(t)=0$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1403197