针对2个Endogenous Variables的Total Differential推导结果的疑问

嘿，我来帮你拆解清楚这个推导逻辑，其实核心就是用隐函数定理来处理第二个等式的关系，咱们一步步来：

第一步：把第二个式子看成关于p和θ的隐函数 #

你的第二个式子是一个隐函数 ( F(p, \theta) = 0 )，具体写出来就是：
( F(p, \theta) = (1 - \beta)(p - z) - \beta c\theta - \frac{(r + \lambda)c}{q(\theta)} = 0 )
这里p和θ是内生变量，z、β、c、r、λ都是外生参数，q(θ)是θ的函数（通常在这类模型里，q(θ)是θ的增函数，也就是 ( q'(\theta) > 0 )，这个性质是关键）。

第二步：对隐函数两边关于p求导（用链式法则） #

因为θ是p的函数（p变化会带动θ变化，满足F(p,θ)=0），所以对F(p,θ)=0两边关于p求全导：

• 第一项 ( (1 - \beta)(p - z) ) 对p求导：结果是 ( (1 - \beta) )（z是外生变量，导数为0）
• 第二项 ( -\beta c\theta ) 对p求导：结果是 ( -\beta c \cdot \frac{d\theta}{dp} )（θ是p的函数，链式法则）
• 第三项 ( -\frac{(r + \lambda)c}{q(\theta)} ) 对p求导：先转化为 ( -(r+\lambda)c \cdot q(\theta)^{-1} )，用链式法则得 ( \frac{(r+\lambda)c \cdot q'(\theta)}{[q(\theta)]^2} \cdot \frac{d\theta}{dp} )

把这些项加起来等于0（因为F(p,θ)=0的导数是0）：

(1 - β) - βc·(dθ/dp) + (r+λ)c·q'(θ)/[q(θ)]²·(dθ/dp) = 0

第三步：整理式子求解 ( \frac{d\theta}{dp} ) 的符号 #

把含 ( \frac{d\theta}{dp} ) 的项移到等式右边，其他项移到左边：

(1 - β) = [βc - (r+λ)c·q'(θ)/[q(θ)]²]·(dθ/dp)

提取公因子c：

(1 - β) = c·[β - (r+λ)·q'(θ)/[q(θ)]²]·(dθ/dp)

现在看符号：

• 左边 ( (1 - β) )：通常β是0到1之间的参数（比如贴现因子），所以左边为正
• c是成本，肯定为正
• 括号里的 ( [β - (r+λ)·q'(θ)/[q(θ)]²] )：因为q'(θ)>0，这类模型的设定会保证这个括号为正（否则结论会反过来）

所以两边都是正数，那么 ( \frac{d\theta}{dp} = \frac{(1 - β)}{c·[β - (r+λ)·q'(θ)/[q(θ)]²]} > 0 )，这就得到了题目里的 ( \frac{\partial \theta}{\partial p} > 0 )。

第四步：推导 ( \frac{\partial u}{\partial p} < 0 ) #

再看u的表达式：( u = \frac{\lambda}{\lambda + \theta q(\theta)} )，我们用链式法则把u对p求导：

∂u/∂p = (du/dθ) · (dθ/dp)

先算 ( du/dθ )：对θ求导，用链式法则可得：

du/dθ = -λ·[q(θ) + θ q'(θ)] / [λ + θ q(θ)]²

分子里q(θ)和q'(θ)都是正数，θ也是正数，所以整个分子是正的，前面有负号，因此 ( du/dθ < 0 )。

我们已经知道 ( dθ/dp > 0 )，负的数乘以正的数结果为负，所以 ( \frac{\partial u}{\partial p} < 0 )，正好符合题目里的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者asdf1234